Бесконечность - это абстрактное понятие, используемое для описания чего-то бесконечного или безграничного. Это важно в математике, космологии, физике, вычислениях и искусстве.
1. Знак бесконечности
У бесконечности есть свой особый символ: ∞. Символ, который иногда называют лемнискату, был введен священнослужителем и математиком Джоном Уоллисом в 1655 году. Слово «лемниската» происходит от латинского слова Lemniscus , что означает «лента» , а слово «бесконечность» происходит от латинского слова Infinitas , что означает «безграничный».
Уоллис, возможно, основал символ на римской цифре 1000, которую римляне использовали для обозначения «бесчисленное множество» в дополнение к числу. Также возможно, что символ основан на омеге (Ω или ω), последней букве греческого алфавита.
Концепция бесконечности была понята задолго до того, как Уоллис дал ей символ, который мы используем сегодня. Примерно в 4-м или 3-м веке до нашей эры в джайнском математическом тексте Сурья Праджняпти присвоены числа как перечислимые, бесчисленные или бесконечные. Греческий философ Анаксимандр использовал работу апейрон для обозначения бесконечности. Зенон Элейский (родился около 490 г. до н.э.) был известен парадоксами бесконечности .
2. Парадокс Зенона
Из всех парадоксов Зенона самым известным является его парадокс черепахи и Ахилла. Как это ни парадоксально, черепаха бросает вызов греческому герою Ахиллу в гонке, при условии, что черепаха получает небольшую фору. Черепаха утверждает, что выиграет гонку, потому что, когда Ахиллес догонит его, черепаха уйдет немного дальше, увеличивая дистанцию.
Проще говоря, рассмотрите возможность пересечения комнаты, преодолевая половину расстояния с каждым шагом. Сначала вы преодолеваете половину расстояния, а половина остается. Следующий шаг - половина, половина или четверть. Пройдено три четверти дистанции, но осталась четверть. Далее идет 1/8, затем 1/16 и так далее. Хотя каждый шаг приближает вас, вы никогда не достигнете другой стороны комнаты. Или, скорее, после бесконечного количества шагов.
3. Пи как пример бесконечности
Еще один хороший пример бесконечности - число пи . Математики используют символ пи, потому что число невозможно записать. Пи состоит из бесконечного числа цифр. Часто его округляют до 3,14 или даже до 3,14159, но сколько бы цифр вы ни написали, до конца дойти невозможно.
4. Теорема обезьяны
Один из способов думать о бесконечности - это теорема обезьяны. Согласно теореме, если вы дадите обезьяне пишущую машинку и бесконечное количество времени, в конечном итоге она напишет Гамлета Шекспира . В то время как некоторые люди принимают теорему как предположение, что все возможно, математики видят в ней свидетельство того, насколько маловероятны определенные события.
5. Фракталы и бесконечность
Фрактал - это абстрактный математический объект, используемый в искусстве и для моделирования природных явлений. Записанные в виде математического уравнения, большинство фракталов невозможно дифференцировать. При просмотре изображения фрактала, вы можете увеличить масштаб и увидеть новые детали. Другими словами, фрактал можно бесконечно увеличивать.
Снежинка Коха - интересный пример фрактала. Снежинка начинается в виде равностороннего треугольника. Для каждой итерации фрактала:
- Каждый отрезок линии делится на три равных отрезка.
- Равносторонний треугольник нарисован с использованием среднего сегмента в качестве основания, направленного наружу.
- Отрезок, служащий основанием треугольника, удаляется.
Процесс может повторяться бесконечное количество раз. Получившаяся снежинка имеет конечную площадь, но ограничена бесконечно длинной линией.
6. Различные размеры бесконечности
Бесконечность безгранична, но она бывает разных размеров. Положительные числа (те, которые больше 0) и отрицательные числа (те, которые меньше 0) могут рассматриваться как бесконечные множества равных размеров. Но что произойдет, если объединить оба набора? Получается набор вдвое больше. В качестве другого примера рассмотрим все четные числа (бесконечное множество). Это представляет собой бесконечность, равную половине размера всех целых чисел.
Другой пример - просто добавление 1 к бесконечности. Число ∞ + 1> ∞.
7. Космология и бесконечность
Космологи изучают вселенную и размышляют о бесконечности. Космос продолжается и продолжается без конца? Это остается открытым вопросом. Даже если физическая вселенная, какой мы ее знаем, имеет границы, все же необходимо рассмотреть теорию мультивселенной. То есть наша Вселенная может быть лишь одной из бесконечного их числа .
8. Деление на ноль
В обычной математике деление на ноль запрещено. По обычной схеме число 1, деленное на 0, не может быть определено. Это бесконечность. Однако это не всегда так. В расширенной теории комплексных чисел 1/0 определяется как форма бесконечности, которая не схлопывается автоматически. Другими словами, есть несколько способов заниматься математикой.
