Как известно, за окном - разгар XXI века, поэтому оказаться в ситуации, когда нет доступа к вычислительной технике, а посчитать что-то вычурное надо, становится всё труднее. В связи с этим вспоминается рассказ Айзека Азимова "Чувство силы", но я сейчас не об этом.
В природе широко распространены калькуляторы примерно такого вида:
В них есть всё, что надо для счастья - четыре действия, проценты, дополнительная ячейка памяти и вычисление корней.
Но что делать, если требуется вычислить не корень квадратный, а, например, корень кубический? Такой функционал предоставляют инженерные калькуляторы, но и с обычными общечеловеческими можно справиться.
Дело в том, что квадратный корень - это степень 1/2. То есть, фактически мы можем вычислить любое число в степени 1/2ⁿ просто набрав это число на клавиатуре и нажав n раз кнопку со значком [√ ]. Осталось понять, как нам представить степень 1/3, коей является кубический корень, в виде комбинаций степеней двойки.
Сделать это легко. В двоичной записи число 1/3 имеет вид:
{ 1/3 }₁₀ = { 0.10101010... }₂ = { 0.(01) }₂
Или, в виде обычных дробей:
1/3 = 1/4 ⋅ (1 + 1/4 ⋅ (1 + 1/4 ⋅ (1 + 1/4 ⋅ ( ... ))))
Отсюда легко получается требуемый алгоритм. Проще всего проиллюстрировать его на примере. Пусть нам нужно вычислить, например, ∛125, который как известно, равен 5. Получаем:
Набираем на калькуляторе число: 125
Нажимаем два раза кнопку: [√ ] [√ ]
На экране появится число: 3.3437015
Умножаем результат на 125
Нажимаем два раза кнопку: [√ ] [√ ]
На экране появится число: 4.5215192
Умножаем результат на 125
Нажимаем два раза кнопку: [√ ] [√ ]
На экране появится число: 4,8758305
Умножаем результат на 125
Нажимаем два раза кнопку: [√ ] [√ ]
На экране появится число: 4,9686643
Умножаем результат на 125
Нажимаем два раза кнопку: [√ ] [√ ]
На экране появится число: 4,9921476
Умножаем результат на 125
Нажимаем два раза кнопку: [√ ] [√ ]
На экране появится число: 4,9980357
Умножаем результат на 125
Нажимаем два раза кнопку: [√ ] [√ ]
На экране появится число: 4,9995089
и т.д. пока не надоест.
Как видим, медленно, но верно результаты сходятся к нашей модельной пятёрке.
С тем же успехом можно использовать этот убогий функционал для вычисления других степеней. Скажем, для корня пятой степени соответствующее разложение по степеням двойки имеет вид:
{ 1/5 }₁₀ = { 0.001100110011... }₂ = { 0.(0011) }₂
Или, в виде обычных дробей:
1/5 = 1/8 ⋅ (1 + 1/2 ⋅ (1 + 1/8 ⋅ (1 + 1/2 ⋅ ( ... ))))
И соответствующий алгорим для вычисления, например, (243)^(1/5) = 3 выглядит так:
Набираем на калькуляторе число: 243
Умножаем результат на 243
Нажимаем кнопку: [√ ]
Умножаем результат на 243
Нажимаем три раза кнопку: [√ ] [√ ] [√ ]
На экране появится число: 3,9482220
Умножаем результат на 243
Нажимаем кнопку: [√ ]
Умножаем результат на 243
Нажимаем три раза кнопку: [√ ] [√ ] [√ ]
На экране появится число: 3,0519420
Умножаем результат на 243
Нажимаем кнопку: [√ ]
Умножаем результат на 243
Нажимаем три раза кнопку: [√ ] [√ ] [√ ]
На экране появится число: 3,0032203
Умножаем результат на 243
Нажимаем кнопку: [√ ]
Умножаем результат на 243
Нажимаем три раза кнопку: [√ ] [√ ] [√ ]
На экране появится число: 3,0002012
Умножаем результат на 243
Нажимаем кнопку: [√ ]
Умножаем результат на 243
Нажимаем три раза кнопку: [√ ] [√ ] [√ ]
На экране появится число: 3,0000126
и т.д. опять пока не надоест.
Словом, подтверждается известный тезис: разложение по степеням двойки - в вычислительной математике штука крайне полезная.