5 июля планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 30-го месяца долг составит 500 тысяч рублей;
- к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1989 тысяч рублей.
Решение:
Пусть S = 1400 тысяч рублей
k = (1 + 0,01r) - повышающий коэффициент
Так как кредит был взят 15-го числа, то 1-го числа следующего месяца на взятую сумму будут начислены проценты, тогда долг составит kS рублей
Известно, что 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Пусть b - сумма, на которую уменьшался долг после совершения платежа.
15-е число 1-го месяца: (kS - b)
15-е число 2-го месяца: (kS - 2b)
...
Тогда долг 15-го числа 30-го месяца составит (kS - 30b)
Получим следующее:
Долг 1-го числа 1-го месяца: kS
Платеж со 2-го по 14-е число 1-го месяца: kS - (S-b) = kS - S + b
Долг 15-го числа 1-го месяца: (S - b)
Долг 1-го числа 2-го месяца: k(S - b)
Платеж со 2-го по 14-е число 2-го месяца: kS - kb - (S-2b) = kS - kb - S + 2b
Долг 15-го числа 2-го месяца: (S - 2b)
…
Долг 1-го числа 30-го месяца: k(S - 29b)
Платеж со 2-го по 14-е число 30-го месяца: kS - 29kb - (S-29b) = kS - 29kb - S + 30b
Долг 15-го числа 30-го месяца: (S - 30b) = 500 тысяч рублей
Долг 1-го числа 31-го месяца: 500k
Платеж со 2-го по 14-е число 31-го месяца: 500k
Долг 15-го числа 31-го месяца: 0 рублей
Найдем b:
S - 30b = 500
1400 - 30b = 500
30b = 900
b = 30 тысяч рублей
Посчитаем общую сумму выплат:
30kS - 30S - kb(1 + … + 29) + b(1 + … + 30) + 500k = 30⋅k⋅1400 - 30⋅1400 - 30⋅k⋅435 + 30⋅465 + 500k = 42000k - 42000 - 13050k + 13950 + 500k = 29450k - 28050
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1989 тысяч рублей:
29450k - 28050 = 1989
29450k = 30039
k = 1,02
Так как k = (1 + 0,01r), найдем r:
1 + 0,01r = 1,02
0,01r = 0,02
r = 2 %
Ответ: 2 %