Привет! Сегодня рассмотрим интересную задачу из второй части ОГЭ про рабочих, которые изготавливают детали.
Решение без лишних пояснений ждёт вас в конце статьи)
Первый рабочий изготавливает за час на 6 деталей больше, чем второй. При этом заказ из 360 деталей он выполняет на 2 часа раньше, чем второй. Сколько деталей изготавливает второй рабочий за час?
- Шаг №1
Разберемся в условии задачи. Величина «количество деталей в час» очень напоминает скорость. Она показывает, сколько деталей изготавливает рабочий за 1 час, а значит, вычисляется по формуле:
Эта формула очень похожа на формулу скорости: расстояние поделить на время, только вместо расстояния в числителе здесь объём работы.
Пусть скорость изготовления деталей у второго рабочего равна v2. Эту скорость нас и просят найти, а неизвестные, которые просят найти, мы обозначаем в задачах за «Х». Следовательно,
v2 = Х (деталей/час)
А первый рабочий в час делает на 6 деталей больше, чем второй. Значит, скорость его работы равна
v1= Х + 6 (деталей/час)
А как же найти время работы? Как в задачах на движение мы находим время как расстояние/скорость, так и в данном случае, заменив расстояние объёмом работы, мы получаем формулу:
Нам сказано, что рабочие выполняют заказ в 360 деталей. Поэтому именно эту величину и примем за объём работы:
V= 360 (деталей)
- Шаг №2
Теперь давайте оформим таблицу, в которую занесем все наши данные. Так мы точно не запутаемся!
Нам осталось подставить в выражение t2 - t1 = 2 значения t1 и t2 из таблицы. Тогда мы получаем уравнение:
- Шаг №3
Решаем полученное уравнение.
Это уравнение дробно-рациональное, то есть «Х» в нём стоит в знаменателе. Поэтому начнём мы с того, что запишем ОДЗ (область допустимых значений). ОДЗ показывает, каким числом «Х» может быть, а каким - нет.
«Х» стоит в знаменателе, а основное, что мы знаем про знаменатель - это то, что он не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Запишем знаменатели наших дробей и отметим, что они не равны нулю:
1) Х ≠ 0
2) Х + 6 ≠ 0; х ≠ - 6
3) Кроме того, за «Х» мы обозначили именно скорость, которая, что логично, в данной ситуации не может быть отрицательной. Поэтому х > 0.
Переходим к дальнейшему решению. Мы разобрались с ОДЗ, а значит, можем с чистой совестью избавиться от знаменателя. Для этого умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) – это наименьшее число, которое делится на все знаменатели рассматриваемых дробей. В нашем случае это х(х + 6). Он делится и на «Х», и на (х + 6). Вперед!
В первой дроби «Х» в числителе сокращается с «Х» в знаменателе, а во второй дроби скобка (х + 6) в числителе сокращается со знаменателем
х + 6. Таким образом получаем:
360*(х + 6) – 360х = 2х*(х + 6)
Давайте все элементы перенесём в одну сторону. Напомню, что при переносе элемента в противоположную от знака "равно" сторону, он должен поменять знак. То есть если справа мы видим 2х*(х + 6), то влево мы должны перенести - 2х*(х + 6). При этом справа ничего не остаётся, следовательно, ставим ноль. Получаем:
360*(х + 6) – 360х - 2х*(х + 6) = 0
В нашем уравнении очень большие числа. Удобнее будет их сократить, поделив уравнение на 2:
360*(х + 6) – 360х - 2х*(х + 6) = 0 │: 2
180*(х + 6) – 180х - х*(х + 6) = 0
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
180х + 1080 – 180х – х^2 – 6х = 0
Слагаемые 180х и – 180х равны по модулю и противоположны по знаку, значит, они в сумме дают ноль и их можно вычеркнуть.
1080 – х^2 – 6х = 0
Обратите внимание, что в этом уравнении перед х^2 стоит минус, но если его не будет, то работать будет намного проще. Давайте умножим уравнение на – 1, чтобы привести его в стандартный вид и избавиться от минуса перед х^2.
1080 – х^2 – 6х = 0 │* (- 1)
х^2 + 6х – 1080 = 0
Мы получили несложное квадратное уравнение. Для того, чтобы найти его корни, давайте вспомним формулу дискриминанта и корней:
D = 36 – 4*1*(- 1080) = 36 + 4*1080 = 36 + 4320 = 4356 = 66^2
Х1 = - 6 + 66 / 2 = 60 / 2 = 30
Х2 = - 6 – 66 / 2 < 0
Как видим, второй корень будет отрицательным, а ранее мы писали, что «Х» должен быть больше нуля. Значит, это решение нам не подходит. Остаётся только один корень: 30. Это и есть наш ответ!
Ответ: второй рабочий изготавливает 30 деталей в час.
А вот и решение без лишних пояснений:
Надеюсь, всё было максимально понятно:)
До новых встреч!!