А сейчас я расскажу уважаемым читателям о широко известном приколе, точнее даже о двух (второй известен меньше). Оба они относятся к печально известной теории вероятностей. Да, той самой, которую слабо понимают люди с их разумом, не приспособленным для математического представления реальности. В общем-то парадоксы как раз об этом и рассказывают. С точки зрения среднестатистического душного зануды (то есть меня) приколы не является парадоксами. В них тупо нет ничего парадоксального, разве что поведение людей, до «которых дошло». Первый из них называется Парадокс Монти Холла.
С ним все началось в 1963 году в телешоу «Let’s make a deal» («Давай совершим сделку»). Как это следует из названия программы, это шоу посвящалось различным сделкам. Сделки могли быть абсолютно любыми, ограничиваясь только полетом фантазии создателей шоу. Могли быть типа нашего Якубовича и его черного ящика — повышаем цену, спрашиваем игрока, берет деньги или содержимое. Повторить десяток раз. Или предлагали определить вес участника и побеждал тот, предположение которого будет ближе к истине. Могли выдать неизвестный предмет и предложить оставить его себе, или обменяться с кем-нибудь другим на что-то другое неизвестное. В общем — безграничное веселье через край. И вот в этой передаче появилась такая штука как три двери.
Именно на нее ссылалась статья, вышедшая в 1975 году в специализированном журнале The American Statistician. Она уже тогда сломала головы некоторым читателям, а ведь журнал был для людей «прошаренных» в математике, статистике и прочих непростых вещах. Были споры, обсуждения и прочие дискуссии на научном языке. Но настоящая слава к приколу пришла в 1990 году, когда о нем рассказал более популярный журнал Parade, ориентированный уже на массовую аудиторию. Как раз эта публика совсем потеряла рассудок. Многие читатели тут же принялись строчить письма в редакцию. И эти письма были о том, что все не так, как на самом деле. Что читатели не понимают этой математики, и что идете вы все нахрен, вы сделали моему мозгу больно.
Сама задача была довольно простой. Итак, ведущий Монти Холл, в честь которого и названа задачка, предлагает игроку три двери. За одной — ааааавтомобиль.
За двумя другими — козы. Ведущий знает, где эти самые козы расположены. После того как участник выбирает дверь, Монти открывает одну из невыбранных и показывает, что за ней коза. Ахахахаха!!! Коза! После этого, он предлагает игроку поменять свой выбор игроку. Теперь задача: имеет ли смысл менять свой выбор?
И решение здесь крайне неочевидное для мозга, который в процессе эволюции привык мыслить категориями «не выходи из зоны комфорта, не совершай ошибку». Ведь с позиции обычного человека кажется — я сделал свой выбор, мне показали, что одна из невыбранных мною дверей — проигрышная. Но для меня то ничего не изменилось, ведь эта информация не касается «моей» двери. Так? Нет, не так. Ведь на самом деле, эта, казалось бы, не относящаяся к выбору информация — критически важна. И если её учесть при выборе (то есть поменять дверь), то шансы на победу значительно увеличатся. Тут просыпается та часть нашего мозга, которая еще что-то помнит про теорию вероятностей и говорит, ну, да, теперь у нас осталось две двери — это 50 на 50. Шансы, что я выбрал верную дверь, даже увеличились. Но нет. Шанс на правильный выбор для нас остался прежним. Как так? Предлагаю простой вариант решения, который подойдет даже для не математиков.
Во-первых, давайте договоримся, что ведущий всегда знает, где у нас автомобиль. Во-вторых, он всегда предлагает поменять дверь. Ну, и наконец, для наглядности, увеличим количество дверей, до хотя бы сотни.
Итак, вы выбрали дверь под номером 1 (в кружочке). Шансы, что мы просто угадали дверь, за которой спрятан автомобиль — 1 из 100. Маленький, согласен. Теперь ведущий, открывает все оставшиеся двери, кроме одной (то есть 98 дверей). И у нас на выбор опять остается две двери. Ту, которую выбрали мы, и та которую оставил закрытой Монти (пусть она будет под номером 100). Как повести себя в этой ситуации? Как мы договорились, Монти у нас честный и он всегда знает, за какой именно дверью прячется автомобиль. Вспомним, что шанс того, что мы выбрали правильно — 1 к 100. А вот шанс того, что Монти выбрал правильно — 100 к 100 — он же знает, где находится главный приз. То есть коза за оставленной им дверью может быть только в том случае, если мы при первом выборе выбрали дверь с автомобилем. То есть сейчас, при смене двери, шанс получить автомобиль 99 из 100. И если мы поменяем свой выбор, то именно с этой вероятностью получим автомобиль. Нет, как я уже сказал, он не будет гарантирован (всегда есть 1%, что нам очень повезло и мы выбрали верно в первый раз). Но он будет очень и очень велик, явно больше, чем в первом случае. Теперь вернемся к нашим трем дверям. Тут уже цифры будут поменьше, но общая идея останется. Шансы соответственно будут 1 к 3 если мы продолжаем настаивать и 2 к 3, если поменять дверь. Небольшой, но приятный бонус к вероятности. Надеюсь, что это объяснение вам помогло и немного пощекотало нейрончики. Теперь перейдем к более мозголомному парадоксу.
Встречаем — парадокс двух конвертов. Вначале этот парадокс кажется похожим на три двери. И не только семантикой названия. В нем опять надо менять выбор. Эта странная хрень существует во множестве вариантов, но наиболее популярна она в таком виде: «тебе и твоему другу выдают два конверта с деньгами. Но в одном конверте денег в два раза больше, чем в другом. Вы можете взять эти конверты, незаметно друг от друга пересчитать деньги и решить — стоит ли меняться конвертами?». Теория вероятностей в бой!
Итак. Ты открываешь конверт и видишь там, предположим 500 рублей. Шансы, что у твоего друга в конверте лежит стопочка в 250 рублей, составляют 50%. А что стопочка денег у друга размером в 1000 рублей — тоже 50%. Прикинем ухо к пальцу и решим простую арифметику. Шанс, что ты увеличишь свое состояние в два раза (с 500 до 1000) — 50%, а шанс, что ты потеряешь половину от того, что имеешь (250 вместо 5000) тоже 50%. То есть, ты в выигрыше по всем фронтам. Вероятности на вашей стороне, ваш средний выигрыш будет всегда выше при обмене, ведь (½x+2x)/2=1,25x. Не поняли почему? Ну просто при обмене вы приобретете в четыре раза больше, чем потеряете (2Х против ½X). Вот вам еще раз пример для простоты: в вашем конверте 1000 рублей. При обмене в минус, у вас всегда останется 500 рублей. А вот при обмене в плюс, вы способны с ничего разбогатеть на целых 2000 рублей. В среднем, при обмене вы всегда получите 1250 рублей. А ведь это больше чем та тысяча, которая есть сейчас у вас. То есть всегда выгодно обменять конверты.
А теперь парадокс: ваш добрый друг и товарищ рассуждает точно так же. То есть вам обоим выгодно меняться, всегда. Странно, да? Но вот вам еще одна идея, которая противоречит здравой логике. Ведь можно даже обойтись без друга. Перед вами два конверта, вы выбираете один и... вдруг по этой математике окажется, что вам выгодно поменять свой выбор! Всегда! В любом случае. Ожидаемый выигрыш от обмена всегда будет выше чем то, что у вас есть. Но такого не может быть с точки зрения банальной житейской логики. Как и в случае Монти Холла, только наоборот. Неужели теория вероятности расползается по швам, и вы только, что открыли способ моментального обогащения?
Теперь добавим усложнение, которое в результате приведет к упрощению понимания ошибки. Предположим, тебе на работе дали конверт с зарплатой в размере x. Но тут хитрый работодатель, любящий розыгрыши говорит: «А вот тут у меня есть конвертики. А в них лежат деньги. Но не столько же как в твоем конверте. Нееееет. В одном из них лежит половина от твоей зарплаты, а во втором вдвое больше, чем сейчас у тебя». То есть у тебя зарплата в 1000 рублей (сочувствую), а в конвертах у начальника либо 500, либо 2000 рублей. Ты отдаешь ему свою законную зарплату и выбираешь себе один из этих конвертов. Есть ли смысл меняться? Да! Есть. «Мы же это уже выяснили выше» — ответите вы. Шансы того, что я выиграю от этой сделки явно на моей стороне. Средний выигрыш 1,25x. Глупый начальник, ахахахахаха! Начальник и правда глупый, а вот нам теперь надо остановиться и подумать.
В первом случае у нас было два конверта. А вот во втором случае у нас появилось уже три конверта. Но путь решения к выигрышу был одинаков. О чем это говорит? А это говорит о том, что где-то на пути этого рассуждения мы банально ошиблись. А ошиблись мы вот в чем: в первом случае у нас было всего два значения: x и 2x, одна сумма лежала в одном конверте, вторая — в другом. А наш мозг (и мозг нашего друга), плохо натренированный эволюцией на абстракции, вроде математики дорисовал еще и ½x и 4x. Ведь когда мы с другом открыли конверты мы вдвоем уже обладали всей полнотой информации. Мы уже знали, что в конвертах лежат, допустим 500 (в нашем конверте) и 1000 рублей (в конверте друга). Но наши мозги, обладая только половиной информации докинули в эту систему еще два дополнительных значения. Мы решили, что в конверте друга может лежать, либо 1000, либо 250 рублей. А он решил, что в нашем конверте может лежать либо 500, либо 2000 рублей. Вот откуда взялись эти два дополнительных значения. И исходя из этой ошибочной информации, мы сделали неправильные выводы. Наш мозг не особо любит тратить ресурсы попусту и решает: ладно, раз у меня есть несколько вариантов, то пусть они все будут равновероятными и независимыми. Пусть у моего друга 50% шанс на «пухлый» конверт и 50% шанс на «худой» конверт. А на самом деле этих конвертов просто нет в природе. Один из этих конвертов уже у нас в руках. Мы ведь совершенно не знаем правил распределения этих денег. Мы не знаем какие начальные условия. Мы ничего об этом не знаем, кроме суммы, которая лежит прямо перед нами. Поэтому мы просто решили — 50 на 50. Либо встречу динозавра, либо нет.
Теперь предположим, что мы знаем, общую сумма денег в этих конвертах. Пусть это будет 3000 рублей. И в нашем конверте мы находим 2000 рублей. Каков шанс того, что в соседнем конверте 4000 рублей? Ноль. Там со 100% вероятностью лежит 1000 рублей. И если я в конверте нашел 2000 рублей, то мне нет никакого смысла менять их на 1000, извини друг. Но пока я не узнал информации об общей сумме, мозг мне рисует идиллические картины, как с помощью выбора я могу обмануть систему. В общем, опять мозг нас подвел. Поздравляю.
Но погоди-ка, ответите вы. Допустим, у нас общий бюджет мероприятия — 1000 рублей. А в конвертах действительно лежат деньги. И в разных наборах. Например, вот в одном — 100 рублей. Значит в другом конверте может быть либо 50, либо 200. «Да, такое может быть», — отвечу я вам. «Ага!» — радуетесь вы. Раз такое может быть, то значит и вероятность того, что мне обязательно надо меняться — тоже присутствует. Я же не знаю, какой именно набор конвертов мне попался. «50 и 100», или «100 и 200». Они оба подходят под общий бюджет и значит оба равновероятны. И тут все опять упирается в математику. Когда я начал в этом разбираться, то обнаружил целую кучу формул и выводов. Вплоть до программ, которые эмулируют все возможные варианты решения. Если хотите погрузиться в дебри — добро пожаловать. Но общий смысл тут опять же... мозг, ну ты чего, опять усугубляешь? Да, именно мозг нас опять подводит. Он опять не может понять абстракцию и мыслит подростковым максимализмом. Вам не ВСЕГДА надо менять свой выбор. Если вы считаете, что вам нужно менять свой выбор всегда, то вам нужно смириться и с последствиями этого выбора. А они таковы, что все упирается в понятие бесконечности. Да, то, где все правила ломаются.
На деле у нас просто нет бесконечного числа денег. Жизнь учит нас тому, что денег у нас всегда исключительно конечное количество. И наш случай с общим бюджетом мероприятия в 1000 рублей — тому показатель. Вряд ли вы будете менять выбор, если обнаружите в конверте 350 рублей, ведь из этого следует, что в большем конверте должно будет лежать 700 рублей. А общая сумма будет превосходить нашу базовую тысячу. Да, обмен конвертов имеет смысл совершать только до определенного количества рублей, которые вы нашли в конверте. В нашем случае это будет около 333 рублей. Стоит там найти 334 рубля и шансы на то, что второй конверт — «пухлый» уже равны нулю, ведь «пухлый» у вас в руках. Точно так же и наоборот. Если вы нашли 1 копейку в вашем конверте, то шансы, что второй конверт «худой» — 0%. Нет, конечно, можно устроить обмен, пока вы находите в конвертах суммы до 334 рублей. И у вас даже есть определенная возможность на этом нажиться. Но стоит вам найти в конверте «пограничную» сумму — и на этом лучше остановиться.
Короче говоря, смиритесь. Теория вероятностей — это не то, с чем привык работать наш мозг. Это даже не математика, а скорее наука о знаниях и их математическом представлении. Как одна единица знания может отразиться на нашей математической модели. Ну и конечно то, что вероятность в 99,9% не гарантирует свершение события. Ведь за дверью всегда может прятаться коза.
----
Тут обязательная просьба поставить лайк и подписаться. Собираюсь писать еще о многом интересном.
А еще у меня есть телеграм-канал: Массаракш Наизнанку . Там подобные статьи появляются раньше, но без подробностей. А еще там бывают всякие новости.