Приветствую всех читателей, данная статья была написана для того, что бы каждый человек мог понять как же решать уравнения при помощи схемы горнера.
Крепитесь! Это очень просто если разобраться :)
Начало.
Собственно, что такое Схема Горнера, многочлены и с чем всё это едят?
Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, входящие в эту сумму, называют членами многочлена. В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида
где ci фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций.
Давайте вспомним основные способы разложения многочлена на множители:
- вынесение общего множителя за скобку
- использование формул сокращенного умножения
- по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
- способ группировки
- деление многочлена на двучлен
- метод неопределенных коэффициентов.
Но для многочлена третьей степени иногда ни один из этих способов неприменим.
Уильям Джордж Горнер
Уильям Джордж Горнер (англ. William George Horner, 1786 — 22 сентября 1837) — британский математик, в честь которого названа схема Горнера. Также он считается изобретателем зоотропа.
Он родился в 1786 году в городе Бристоль в Англии. Получил образование в Кингсвудской школе Бристоля. В возрасте 16 лет он стал помощником директора в Кингсвудской школе и директором 4 года спустя. В 1809 году уехал из Бристоля и основал свою собственную школу (The Classical Seminary) в Бате.
Так... Думаю базу мы получили. Теперь сама схема:
Работать придется с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома x−a:
После деления многочлена n-ой степени на бином x−a, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна n−1.
k=d ;
m=ka+c;
n=ma+d;
s=na+e;
r=sa+f.
1.Нарисовать таблицу с двумя строками и числом столбцов, равным степени делимого, увеличенной на единицу.
2.В первую строку таблицы вписать коэффициенты делимого, записанного в канонической форме, включая и нулевые коэффициенты для отсутствующих степеней x.
3.Перед началом второй строки вписать число а. В первую клетку второй строки вписать то число, которое стоит в первой клетке первой строки (старший коэффициент делимого будет и старшим коэффициентом делителя).
4. Каждая следующая клетка второй строки заполняется по правилу: предыдущее число второй строки умножается на число а, к результату прибавляется число из первой строки, стоящее в клетке с предыдущим номером
Пример
Разложить на множители многочлен: х3-3х2+5х-15
Решение: Составим схему Горнера - это таблица, в верхней строке которой записываются коэффициенты многочлена в порядке убывания их степеней, в левой колонке записываются возможные корни.
Старший коэффициент которого равен 1. Если это уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена, т.е 15. Эти корни ± 1;± 3;± 5;± 15 .
Подставляем эти корни в многочлен:
Получаем корень = 3
Мы получаем ответ х^3-3х^2+5х-15= (х-3)(х2+5)
Надеюсь смог немного вам помочь :)