Математически строго доказано, что эта задача не имеет геометрического решение с помощью циркуля и линейки, так как в конечном итоге она сводится к решению уравнения вида:
В двух других своих статьях я уже показывал, как можно построить отрезок длинною Пи и извлечь корень квадратный из произвольного отрезка с помощью циркуля и линейки. В этой статье я покажу достаточно простое геометрическое решение этой задачи, не прибегая к извлечению корня квадратного из Пи.
Итак, имеется окружность произвольного радиуса R:
Строим диагональ квадрата, отмечаем на ней отрезок АВ и делим его на два не равных отрезка АС и СВ в пропорции золотого сечения:
Строим квадрат с площадью равной площади круга:
Доказательство верности построения:
Сторона описанного квадрата равна 2R. Обозначим отрезок |АВ| как H, отрезок |АС| как h, сторону искомого квадрата как L.
Выразим H через R. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника для треугольника образованного диагоналями описанного квадрата.
Теперь выразим h через R, используя золотую пропорцию.
Воспользуемся ещё раз теоремой Пифагора для нахождения значения L через сумму квадратов катетов прямоугольного треугольника, образованного диагоналями искомого квадрата.
Проделав необходимые вычисления, получаем следующее выражение:
Таким образом, площадь искомого квадрата, выраженная через радиус исходной окружности
Значение площади любого квадрата, построенного предлагаемым способом, всегда будет больше площади круга примерно на 0,27% для круга с любым диаметром из-за разницы 3,155062 – 3,1415926535… = 0,01347. Для устранения этой методической погрешности необходимо подобрать более точную пропорцию из ряда Фибоначчи. Либо умножать полученную сторону квадрата на поправочный коэффициент 0,997331.
Найденное решение не является абсолютно точным, однако точность в 0,27% для любого геометрического построения является вполне приемлемой. Так для окружности диаметром 20 см погрешность данного построения составит всего 0,5 мм, что сопоставимо с инструментальной точностью циркуля и линейки. Другими словами, циркулем и линейкой добиться более точного построения практически невозможно.