И строим наглядные графики.
Недавно у нас была статья о математическом ожидании в рулетке. Сегодня мы смоделируем игру на рулетке и покажем силу математики на практике.
👉 Вкратце: что нужно знать. В рулетку можно выиграть в краткосрочной перспективе, но когда играешь долго, ты всегда теряешь деньги. Почему так:
- У рулетки 37 секторов: 18 красных, 18 чёрных и зеро. Самая простая ставка — на красное или на чёрное. Если ставка сработала, то она удваивается. Если не сработала, то ставка сгорает.
- По идее, в половине случаев ставка должна принести прибыль, поэтому играть в эту игру должно быть выгодно. Поставил большую сумму, удвоил, забрал. На первый взгляд, шанс — 50%.
- Но на самом деле красное или чёрное выпадают не в половине случаев, а чуть реже — за счёт зеро. Из-за него вероятность красного или чёрного не 50%, а 48,6%.
- Получается, при идеально честных рулеточных условиях проигрывать мы будем всегда немного чаще, чем выигрывать. И в долгосрочной перспективе мы будем всегда немного терять деньги.
Но так ли это на самом деле? Может быть, здесь есть какой-то математический трюк, из-за которого мы видим искажённые результаты? Давайте построим модель и протестируем всё.
Что проверяем
Мы смоделируем на Python игру в рулетку по трём стратегиям с разными матожиданиями и посмотрим, как они влияют на результат. Чтобы было нагляднее, мы построим график ставок и выигрышей для каждой стратегии. Python мы выберем именно для того, чтобы быстро построить график.
В каждой стратегии мы всегда начинаем с миллиона рублей, а ставим одну тысячную от этой суммы. Если захотите, можно будет потом поменять это в коде.
Мы сделаем три модели рулетки:
- Классика. В первом случае мы смоделируем классическую рулетку как в казино с отрицательным матожиданием. Для этого нам понадобится 18 чёрных цифр, 18 красных и зеро, а ставить будем только, например, на чёрное. Теоретически, играя по этой стратегии, мы должны со временем проиграть.
- Во второй стратегии мы сделаем нулевое матожидание — уберём зеро. Это даст нам равные шансы при каждой ставке, поэтому, скорее всего, при том же количестве ставок, что и в первый раз, мы останемся с плюс-минус той же суммой. Не ровно той же, а примерно такой же.
- Третья стратегия — делаем положительное матожидание. Для этого мы убираем зеро и одну красную цифру, чтобы у нас было 18 чёрных и 17 красных. Это значит, что мы вероятнее выиграем, чем проиграем, поэтому при том же количестве ставок мы должны неплохо заработать.
Но это в теории. Как получится на практике — сейчас проверим.
⚠️ Это про Python
Мы делаем проект на Python, для его запуска нужна пайтоновская среда и программы. Мы об этом уже писали, прочитайте: Как установить Python и начать на нём писать.
Графики
Чтобы построить графики, нам понадобятся две библиотеки — Plotly и Pandas.
Plotly отвечает за графическую часть — рисует красивые графики в браузере с помощью JavaScript. Их можно увеличивать, выделять фрагмент для анализа, скачивать себе как картинки и сравнивать данные между собой. Когда нужно нарисовать какой-то график, Plotly запускает браузер и создаёт локальную страницу с интерактивными данными.
Чтобы вся эта магия с данными работала и графики обрабатывались правильно, для Plotly нужна библиотека Pandas. Она отвечает за математику, анализ и обработку всех чисел на графике.
Устанавливаются библиотеки так:
pip install plotly
pip install pandas
Эти команды можно запустить прямо в терминале VS Code, если вы пишете код в нём, а если нет — то в командной строке компьютера.
Подготовка
Всё, что понадобится для проверки каждой стратегии, мы вынесем в отдельные переменные. Это позволит нам легко поменять нужные числа при необходимости в одном месте, а не искать по всей программе.
Для подсчёта статистики сделаем переменные, где будем хранить данные о количестве побед и проигрышей. А для графиков — будем запоминать номер игры и количество денег, которые у нас остались.
Напишем это на Python:
Три стратегии с матожиданиями
В каждой стратегии будем ставить на цвет — красное или чёрное. Чтобы понять, сыграла ставка или нет, мы каждый раз будем брать случайное число от 1 до 37: 18 чёрных, 18 красных и зеро. Чтобы было проще, пусть числа от 1 до 18 у нас будут чёрные, с 19 по 36 — красные, а 37 будет зеро.
Первая стратегия: берём всё как есть и просто бросаем шарик. Если выпало чёрное — мы выиграли. В этой стратегии у нас 18 выигрышных вариантов и 19 проигрышных, поэтому матожидание будет отрицательным.
Вторая стратегия: убираем зеро. У нас получается по 18 чёрных и красных чисел, и вероятность выиграть — ровно 50 на 50. Это даёт нам нулевое матожидание.
Третья: убираем зеро и одно красное число, чтобы было 18 чёрных и 17 красных. Так как вероятность попасть на чёрное выше, чем на красное, то матожидание будет положительным.
👉 Когда будете читать код, обратите внимание на такую строку: if ball in range(1,19). Дело в том, что Python работает с диапазоном range() так: первое число входит в рабочий диапазон, а конечное — нет. Поэтому, чтобы нам проверить, попало ли наше число в диапазон от 1 до 18 включительно, нам нужно указать range(1,19).
Если мы запустим этот код, то в консоли увидим результат для каждого матожидания:
Кажется, что все три варианта дают примерно одинаковый результат, но на самом деле в первом случае вы останетесь без денег, а в третьем — разбогатеете. Чтобы было нагляднее — построим графики.
Строим графики
Для графиков мы используем библиотеку Plotly и рисуем сразу все три графика на одном поле — это даст нам наглядность и понимание, к чему приводит разное матожидание. Чтобы было понятно, какой график отвечает за какую стратегию, мы их подпишем:
Теперь посмотрим на тот же результат, который у нас получился, но в виде графиков:
Синяя линия — это баланс нашей первой игры с отрицательным матожиданием. Мы предсказуемо всё проиграли.
Оранжевая линия — график баланса при нулевом матожидании. Видно, что мы то выигрывали, то проигрывали, но в результате мы всё равно остались примерно с той же суммой, что и начинали.
Зелёная линия — наш баланс при положительном матожидании. Мы выигрывали чаще, чем проигрывали, поэтому удвоили нашу стартовую сумму.
Что дальше
Теперь у вас есть все инструменты, чтобы проверять результаты игр при любом матожидании. Этот код можно использовать не только для рулетки, а в принципе для любых игр, где результат определяется случайным образом.