Найти в Дзене
Просто о математике
173 подписчика

Решим дробно-рациональное уравнение: 1/х^2 – 3/х – 4 = 0

1349
1 мин
1/х^2 – 3/х – 4 = 0 Итак, приступим! (В конце статьи есть краткое решение без лишних пояснений) Первый шаг - это понять, что нам нужно сделать. Раз тут стоит знак равно, то это уравнение, а значит, мы должны найти значение(я) “X”, то есть корни уравнения. Перед нами дробно-рациональное уравнение, то есть неизвестный “X” стоит в знаменателе. А это возлагает на нас дополнительные обязанности. Мы должны разобраться с ОДЗ (областью допустимых значений), то есть сказать, чему “X” не может быть равен. Помните, что делить на ноль нельзя? Это значит, что знаменатель не должен быть равен нулю. Давайте это отметим. Для этого записываем все знаменатели, которые у нас есть, и говорим, что они не равны нулю: 1) х^2 ≠ 0; х ≠ √0; х ≠ 0 2) х ≠ 0 Итог шага №2: мы выяснили, что корнем этого уравнения не может быть ноль. Идём дальше! Мы разобрались с ОДЗ, а значит, можем с чистой совестью избавиться от знаменателя. Для осуществления этого коварного плана умножим обе части уравнения на наименьший общий зн

Привет! Разберемся, как решать уравнения такого типа:
1/х^2 – 3/х – 4 = 0

Итак, приступим! (В конце статьи есть краткое решение без лишних пояснений)

  • Шаг №1

Первый шаг - это понять, что нам нужно сделать. Раз тут стоит знак равно, то это уравнение, а значит, мы должны найти значение(я) “X”, то есть корни уравнения.

  • Шаг №2

Перед нами дробно-рациональное уравнение, то есть неизвестный “X” стоит в знаменателе. А это возлагает на нас дополнительные обязанности. Мы должны разобраться с ОДЗ (областью допустимых значений), то есть сказать, чему “X” не может быть равен.

Помните, что делить на ноль нельзя? Это значит, что знаменатель не должен быть равен нулю. Давайте это отметим. Для этого записываем все знаменатели, которые у нас есть, и говорим, что они не равны нулю:

1) х^2 ≠ 0; х ≠ √0; х ≠ 0

2) х ≠ 0

Итог шага №2: мы выяснили, что корнем этого уравнения не может быть ноль. Идём дальше!

  • Шаг №3

Мы разобрались с ОДЗ, а значит, можем с чистой совестью избавиться от знаменателя. Для осуществления этого коварного плана умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) – это наименьшее число, которое делится на все знаменатели рассматриваемых дробей. В нашем случае это х^2. Он делится и на х^2, и на “X”, и на 1. Вперед!

Чтобы лучше разобраться в сложных числовых махинациях, обратимся к подробной записи:

Подробная запись уничтожения знаменателя)
Подробная запись уничтожения знаменателя)

Итак, мы получили 1 – 3х – 4х^2 = 0. Перепишем в привычном для квадратного уравнения (которое мы и получили) виде: - 4х^2 – 3х + 1 = 0. Знак минус в самом начале портит всю гармонию:( Давайте исправим ситуацию! Умножаем уравнение на – 1.

- 4х^2 – 3х + 1 = 0 │*(- 1)

4х^2 + 3х - 1 = 0

Итог шага №3: 4х^2 + 3х - 1 = 0

  • Шаг №4:

Нам осталось справиться с достаточно простым квадратным уравнением. Давайте вспомним формулу дискриминанта и корней:

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения
Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Итак, приступаем к решению!

4х^2 + 3х - 1 = 0

D = 9 – 4*4*(- 1) = 9 + 16 = 25 = 5^2

х1 = (-3 + 5)/8 = 0,25 (или 1/4)

х2 = (-3 - 5)/8 = - 1

Мы получили два корня. И они оба подходят, так как ни один из них не равен нулю.

Ответ: 0,25; - 1

А вот так выглядит решение без лишних пояснений:

Решение, которое можно переписать в тетрадь)
Решение, которое можно переписать в тетрадь)

Надеюсь, всё было максимально понятно:)

До новых встреч!!

4