Привет! Сегодня разберёмся, как решать подобные неравенства:
- 18 / ((х + 4)^2 – 10) ≥ 0
Итак, приступим!
- Шаг №1
Первый шаг - это понять, что от нас требуется. Раз тут стоит знак больше или равно, то это неравенство, а значит, мы должны обозначить числовой промежуток, к которому может принадлежать "Х".
- Шаг №2
Разберемся, что перед нами за выражение.
- 18 / ((х + 4)^2 – 10) - это частное, то есть результат деления. Нам сказано, что результат больше или равен 0. Числитель дроби мы знаем, он равен
– 18. Это отрицательное число, и чтобы в итоге ответ был, как и сказано в условии, больше или равен 0, то знаменатель тоже должен быть отрицательным.
Дело в том, что положительный ответ, при том, что мы имеем отрицательный числитель, получится лишь при отрицательном знаменателе. Минус на минус, как известно, даёт плюс)
Из этих логических умозаключений делаем вывод, что:
(х + 4)^2 – 10 < 0
Почему мы беремся утверждать, что (х + 4)^2 – 10 именно меньше нуля, а не меньше или равно 0? Дело в том, что знаменатель не может равняться 0, так как делить на 0 нельзя!
Итог шага №2: (х + 4)^2 – 10 < 0
- Шаг №3
Теперь работаем именно с этим неравенством. И начнем с того, что раскроем скобку, которая представляет собой квадрат суммы. Напомню формулу:
Итак, х^2 + 8х + 16 – 10 < 0
Теперь приводим подобные слагаемые:
х^2 + 8х + 6 < 0
Итог шага №3: х^2 + 8х + 6 < 0
- Шаг №4
Решать это неравенство будем методом интервалов. Для этого нам нужно понять, при каких значениях "Х" наше выражение будет равно нулю. Давайте запишем следующее квадратное уравнение:
х^2 + 8х + 6 = 0
Вспомним формулу дискриминанта:
Решение:
х^2 + 8х + 6 = 0
D = 64 – 4*6 = 64 – 24 = 40 = 2√10^2
Х1 = (- 8 + 2√10)/2 = 2(- 4 + √10)/2 = - 4 + √10
Х2 = (- 8 - 2√10)/2 = 2(- 4 - √10)/2 = - 4 - √10
Итог шага №4: нули в нашем неравенстве это - 4 + √10 и - 4 - √10
- Шаг №5
Следующий шаг при применении метода интервалов - это расположение чисел, найденных нами в предыдущем пункте, на координатной прямой. Приступаем!
Мы получили три интервала:
1) От минус бесконечности до - 4 - √10
2) От - 4 - √10 до - 4 + √10
3) От - 4 + √10 до плюс бесконечности
Теперь наша задача – узнать, какой из них будет ответом на наш вопрос.
- Шаг №6
На этом этапе нам нужно узнать, какой знак примет наше выражение
х2 + 8х + 6, если "Х" будет принадлежать какому-либо интервалу. Для этого рассмотрим конкретный пример.
Число 0 расположено на третьем интервале. Подставим 0 в наше выражение вместо "Х":
0^2 + 8*0 + 6 = 0 + 0 + 6 = 6
6 > 0
Видим, что ответ положительный. Делаем вывод, что при любом "Х", принадлежащем этому интервалу, ответ будет положительным. А на всех других интервалах по очереди меняем знак: если на соседнем интервале мы поставили "+", то на другом ставим "-".
Шаг №7
Так какой же интервал будет нашим ответом? Для того, чтобы разобраться, обратимся к неравенству.
Итак, (х + 4)^2 – 10 меньше 0, то есть нужно такое значение "Х", при подстановке которого в выражении получится отрицательный ответ. Такое развитие событий нам может обеспечить второй интервал, так как именно на нём мы поставили знак минус. Он и будет ответом.
Знак у нас строгий: не меньше или равно, а строго меньше, то есть ответ будет звучать так: от - 4 - √10 до - 4 + √10 не включительно. Поэтому записываем интервал с круглыми, а не квадратными скобками:
(- 4 - √10; - 4 + √10).
Ответ: (- 4 - √10; - 4 + √10)
А вот так выглядит решение без лишних пояснений:
Надеюсь, всё было максимально понятно:)
До новых встреч!!