Очень часто даже в повседневной речи многие употребляют фразу "асимптотически приближается". Пришло время вспомнить, откуда это понятие взялось и что оно значит в математике. Поехали!
Итак, асимптота сама по себе не имеет смысла, ведь о ней говорят применительно к какой-то кривой линии. По словесному определению, асимптотой к кривой называется прямая линия, к которой кривая сколь угодно близко приближается на бесконечности.
Самый наглядный пример - это график функции y=1/x:
Асимптотами для этой функции являются горизонтальная прямая х=0 и вертикальная y=0. Асимптот, вообще говоря, может быть и бесконечное количество, например:
Существует одно популярное заблуждение, согласно которому асимптота - это линия, к которой график функции стремится, но никогда не приблизится. Однако стоит привести лишь один пример, и эта теория рассыпается на глазах:
График этой функции бесконечное количество раз пересекает горизонтальную асимптоту, постепенно приближаясь к ней.
Строго говоря, прямая линия является асимптотой, если для неё выполняются следующие предельные отношения:
Давайте для примера найдем уравнение асимптоты для такой функции:
Исследование асимптот позволяет более четко представлять поведение функций, т.к. их свойства очень близки к свойствам простых линейных функций. Дополнительно стоит отметить, что не все функции, уходящие в бесконечность имеют асимптоты. Возьмите хотя бы для примера график параболы. Спасибо за внимание!