Что это такое?
Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.
Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимообратный характер дифференцирования и интегрирования.
Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны такие дисциплины как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Очень распространилась область применения математики в естественных науках и технике.
Основная идея
Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции в малом. Точнее дифференциальное исчисление дает аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близка к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал.
В чем заключается значимость этих открытий?
Дифференциальное и интегральное исчисление позволило определять мгновенные изменения величин, например изменения орбитальной скорости планет, и находить сумму бесконечно малых, например при вычислении объёма тел неправильной формы. Этот раздел математики служит базой экономики, физики и других наук.
Основные теоремы дифференциального исчисления:
- Теорема Ролля утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.
- Теорема Лагранжа, или формула конечных приращений утверждает, что если скорость тела определена в любой момент времени, то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.
- Теорема Коши о среднем значении обобщает формулу конечных приращений Лагранжа. В этой теореме устанавливается связь между производными двух функций и изменением этих функций на конечном отрезке.
- Формула Тейлора, выведенная из теоремы Лагранжа с остаточным членом в форме Лагранжа – разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
- Правило Лопиталя, выведенное из теоремы Коши, утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.