Уверены ли Вы, что шар - это нечто округлое, такое привычное и знакомое из повседневной действительности? Однако как только Вы больше начнете углубляться в математику, то поймете, что шар - это несколько более общее понятие.
Сегодня на простом языке я расскажу Вам о понятии шара - ключевом термине, который зависит от пространства, в котором он рассматривается.
- Недавно я уже писал о том, что такое расстояние и метрическое пространство. Рекомендую ознакомиться с этим материалом.
Так вот, будем рассматривать метрическое пространство - проще говоря, множество точек, для которых попарно определена особая функция - метрика, которая для двух точек выдает некий результат, который мы называем расстоянием.
В таком пространстве рассмотрим множество X, произвольную точку, принадлежащую Х, а также положительное число r:
Вот теперь мы и подходим к определению шара - множества точек y, расстояние до которых от точки, называемой центром шара, не превышает величину r:
Шар называется открытым, если неравенство строгое. т.е. шар не содержит свои границы. В противном случае шар называется замкнутым. Если же в определении выше стоит знак "=", то такое множество точек называется сферой. Вот такие математические тонкости.
Также открытый (замкнутый) шар радиуса r с центром в точке х в математике называется открытой (замкнутой) r-окрестностью точки х.
Все логично и понятно, когда мы рассматриваем метрическое пространство с евклидовой метрикой. В таком случае шаром является :
Но всё становится менее понятным, если рассматривать метрическое пространство, которое является прямой. В нем расстояние измеряется как модуль разности координат:
Еще более поразительные вещи творятся, если вводить т.н. метрику городских кварталов или метрику шахматной доски:
В таких метриках шаром является квадрат, либо его кровный брат ромб. Именно эти фигуры определяют множества точек, равноудаленных от данной, в зависимости от способа вычисления расстояния.
А еще есть дискретное метрическое пространство, в котором расстояние между точками равно 1, если точки не совпадают, и 0. если совпадают:
В таком метрическом пространстве шар вырождается в сферу, т.к. возможно только строгое равенство по расстоянию. Такая сфера состоит из всех точек множества Х, кроме той, которая является центром.
Шар - важнейшее понятие не только в метрических пространствах, но и там, где расстояние, строго говоря, может не иметь смысла. Такие пространства называются топологическими и могут задаваться, в том числе, множеством шаров. Но это уже совсем другая история. Чтобы плавно подойти к понятию топологического пространства, необходимо прежде всего разобраться с понятием открытого множества. Подписывайтесь! Топологию в массы!