Начало: Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция.
Математика для чайников. Глава 11. Почему делить на нуль нельзя или кое-что о пределах.
Очень часто на экзаменах и контрольных по математике требуют знать точные математические определения. Порой они звучат витиевато и непонятно. А учить все эти определения – адский ад. Но на самом деле есть выход. Внезапно, но процесс заучивания скучных математических определяй может быть интересный и веселый. Вся его суть сводить к трем принципам:
- мнемотехника;
- понимание;
- медитация.
Наилучший результат даст комбинациях этих методов. Но сначала нужно освоить их по отдельности. Начнем с мнемотехники.
Мнемотехника. Суть мнемотехники состоит в том, чтобы скучное определение или формулу превратить в веселый рассказ, который легко запоминается. И не просто превратить, а таким образом, чтобы по нему легко было воспроизвести исходную формулу или определение. А вот как его сочинить, тут возможные варианты. Самый простой случай – это когда нам надо просто запомнить слова. Например: «Медведь, компьютер, магазин, жилец, девушка, звезда, море, ананас, полицейский». Составляем рассказ, и ярко и красочно воображаем его: «Медведь наступил на компьютер, который продавался в магазине, все это увидел жилец, который там жил. Он истошно завизжал, и его вопли услышала девушка. Она испугалась и уронила звезду в море. А там плавал ананас, и его пытался выловить полицейский». Представили? Поржали? Запомнили? Думаю, да. И, значит, эти слова теперь легко будет воспроизвести по памяти.
- Ну хорошо, - скажите вы, - а какое это имеет отношение к математике?
А я предложу перейти к запоминанию цифр. Каждой цифре можно сопоставить набор слов, выучить их и пользоваться мнемотехникой. А чтобы легче было запомнить, какая цифра какому слову (словам) соответствует, можно и тут применить мнемотехнику, связав цифры только с похожими на них словами (или словосочетаниями):
0 – круг, окружность, колесо, пустота, штурвал.
1 – палка, елка, одинокий человек, шест, жезл.
2 – пара, чета, двоечник Вовочка, хулиган.
3 – тройка лошадей, троица, Бог, тройник.
4 – стул, Чапай (с Петькой!), четвертак.
5 – отличник, пятачок, поросенок.
6 – шестерка (карта), шестерка (раб, низшая каста), дьявол, монстр.
7 – серп, коммунист, пионер, октябренок.
8 – сломанный велосипед, ременная передача, наручники.
9 – машина «Девятка», закорючка, запятая.
Пример, нужно запомнить число 290384234. Придумываем рассказ: «Двоечник Вовочка (2) на «Девятке» (9) поехал в пустоту (0), но ему наперерез пустилась тройка (лошадей)(3). Они столкнулись, и на всех участников ДТП надели наручники (8). Им пришлось сеть на стул (4). Рядом сидела чета Ивановых (2), они шептались и нежно целовались, совсем не обращая внимание на включенный в розетку тройник (3). А оттуда вылез Чапай (4). Таким образом теперь длинные последовательности цифр стало запомнить гораздо легче. Пин код от своей банковской карты вы теперь не забудете.
Теперь давай перейдем к реальной математике. Путь нам надо выучить теорему Хана Банаха, которая звучат вот так:
«Пусть p – однородно выпуклый функционал, определенный на действительном линейном пространстве L и пусть L0 – линейное подпространство в L. Если f0 – линейный функционал на L0, подчиненный на L0 функционалу p(x), то есть на L0:
то f0 может быть продолжен до линейного функционала f на L, подчиненного p(x) на всем L»[1].
Для начала, запомним, что это теорема Хана Банаха. Можно так: «Хан ахал в бане, придумывая теорему». Теперь сочиним такой же рассказ про текст теоремы: «Петр на букву p был весь такой однородный и толстый, от чего у него был выпуклый живот. В его животе жил какой-то функционал. Он (это был он, а не она, не функция, а именно функционал!!!) боролся за самоопределение на действительном линейном пространстве. Для него было важно самоопределиться именно на действительном пространстве, а не на каком попало. А еще он так обнаглел, что требовал, чтобы пространство было обязательно линейное, кривое пространство он не признавал. Не знаю почему, но пространство обозначалось буковкой L, наверное потому, что функционал влюбился в какую-то Лену. А у этой Лены была дочь, которую тоже звали Лена. Но одноклассники дразнили ее «Ленка нулевая». Так вот, если Лена – это пространство, то ее дочь Лена Нулевая – это подпространство. А еще тут неподалеку жил Федор Нулевой (f0) и вот они встретились. И он был на Ленке Нулевой (это эротика!). Но вот незадача, у Федора Нулевого был босс Петр от Икс. Да, именно так звали босса – Петр от Икс и Федору нулевому приходилось ему подчиняться, потому что если взять Федора Нулевого дать ему Икс, то он не сможет сделать больше, чем Петр. Меньше – может, столько же – может. То есть он может сделать меньше или равно чем Петр от Икс. А к чему я все это говорю? А к тому, что из всего этого следует, что Федор Нулевой может вырасти (быть продолжен) до настоящего Федора, если ляжет на Лену Старшую (не ту что Нулевая). Хотя, при этом он все еще будет подчинятся Петру от Икс.
Понимание. Выучить материал мало. Его нужно понять. Если вы уже поняли, то можете пропустить этот раздел главы. Если хоть что-то не понятно, сейчас я объясню, как понять. Этот метод можно использовать и когда что-то непонятно, и даже когда вообще ничего не понятно.
И так, смотрим, что непонятно, и начинаем это разбирать, попутно представляя все в своем воображении. Если непонятно ничего, начинаем так работать с каждым словом.
Допустим, непонятна фраза «однородно выпуклый функционал». Что такое функционал знаете? Нет? О’кей, ищем что такое функционал. Вот несколько определений из разных источников:
Функционал — это функция, заданная на произвольном множестве и имеющая числовую область значений: обычно множество вещественных чисел R или комплексных чисел C . В более широком смысле функционалом называется любое отображение из произвольного множества в произвольное (не обязательно числовое) кольцо [2].
Функционал – это математический понятие, первоначально возникшее в вариационном исчислении и означающее там переменную величину, зависящую от функции (линии) или от нескольких функций. Примерами Ф. являются площадь, ограниченная замкнутой кривой заданной длины, работа силового поля вдоль того или иного пути и т.д. С развитием функционального анализа термин «Ф.» стал пониматься в более широком смысле, а именно: как числовая функция, определённая на некотором линейном пространстве.
Функционал – (от лат. functio — исполнение, осуществление) — это обобщение понятия функции, первоначально возникшего в вариационном исчислении, где обозначало переменную величину, зависящую от функции (линии) или от нескольких линий, т. е. числовую функцию. Точное математические определение таково — отображение множества функций на множество точек[3].
А вот определение из книжки по вариационному исчислению [4]:
Пусть
множество функций, удовлетворяющих определенным условиям. Закон или правило, по которому каждой функции из данного множества ставиться в соответствие вполне определенное числовое значение, называется функционалом, определенным на заданном множестве функций
Функционал, определенный на множестве функций
Принято обозначать через
Кажется, что столько много самых разнообразных определений только запутывают. Ничего подобного. Ищем среди всех определений самое понятное. Лично для меня самым понятным оказалось последнее определение, которое, в принципе, можно представить как функцию от функции. Теперь осталось посмотреть на другие определения и уяснить, что в принципе, там говориться то же самое, но только другими словами.
Давайте проверим, действительно ли все определения говорят об одном и том же, но другими словами. Например, первое определение, где открытым текстом говориться, что функционал – это функция. А так как это функция от функции, то она действительно задана на произвольном множестве: на множестве значений той функции, от которой она функция. Определение, что функционал – это переменная, которая зависит от функции или нескольких функций тоже не противоречит идее, что это функция от функции (или от нескольких функций).
Допустим, с функционалом разобрались. Точно так же разбираемся с другими непонятными понятиями. Если окажется, что определение непонятного понятия тоже непонятно, то рекурсивно применяем к нему тот же алгоритм разбора, по каждому непонятному термину. Да, это займет очень много времени. Но зато, когда вы все поймете, вы все автоматически запомните, и сдадите экзамен на отлично.
Медитация. А медитация состоит в том, чтобы всю эту строгую математическую формулировку представить. Созерцать ее в своем уме. Смотреть на формулу и думать о том, какая же красивая эта формула. Смотреть на определение и думать о том, как красиво сформулировано оно. Если там есть график, геометрические построение, попытайтесь представить все это, не заглядывая в конспект.
Пожертвовать автору
Следующая глава: Математика для чайников. Глава 13. Теория игр
Литература к главе 12
1. А. Н. Колмогоров. С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа – Москва 2004 – 572 с.
2. Функционал — Википедия (wikipedia.org)
3. Значение слова «функционал» в 4 словарях (znachenie-slova.ru)
4. Л. Г. Лелевкина, Р. Р. Рафатов. Вариационное исчисление и основы математической теории управления. Учебное пособие – Бишкек – 1999 – 35 с.
5. Выпуклый функционал — Википедия (wikipedia.org)
