Математика и искусство обычно рассматриваются, как противоположные дисциплины. Одна посвящена абстрактному мышлению, другая - чувствам и эмоциям. Но иногда противоположности пересекаются. Мы можем видеть замечательное соединение математики и искусства, начиная от исламской плитки до хаотических узоров Джексона Поллока. Эти два способа мышления совсем неодинаковы, но зачастую один из них предвосхищает другой.
Стимулирует ли искусство математические открытия? Попробуем разобраться.
Узоры в Альгамбре
Рассмотрим исламский орнамент, который находится в Альгамбре, в Испании.
В 14-15 веках Альгамбра служила дворцом и гаремом берберских монархов. Для многих посетителей это место близкое к раю: серия открытых дворов с фонтанами, окруженных аркадами, обеспечивающими укрытие и тень. Потолки декорированы сложными геометрическими узорами, напоминающими сталактиты. Апофеоз дворца - это орнамент из красочной плитки на стенах, завораживающий взгляд и вызывающий странное блаженство. Подобно музыке, узоры возносят зрителя в почти внетелесное состояние, в своего рода небесный восторг.
Это триумф искусства и математического мышления. Орнамент исследует область математики, известную как мозаика, которая стремится полностью заполнить пространство правильными геометрическими узорами. Математика показывает, что плоскую поверхность можно равномерно покрыть симметричными формами с тремя, четырьмя и шестью углами, но не с пятью. Также можно комбинировать разные формы, используя треугольные, квадратные и шестиугольные плитки, чтобы полностью заполнить пространство. Альгамбра переполнена сложными комбинациями такого рода, которые трудно назвать стабильными. Кажется, они крутятся у нас на глазах. Они запускают наш мозг в действие и когда мы смотрим на них, то упорядочиваем и перестраиваем их паттерны в различных конфигурациях.
Эмоциональный опыт? Даже очень. Но что удивительно, в таких исламских произведениях, так это то, что работы анонимных художников и мастеров также демонстрируют почти совершенное владение математической логикой. На данный момент ученые выделили 17 типов симметрии: двусторонняя симметрия, вращательная симметрия и так далее. По крайней мере, 16 появляются в мозаике Альгамбры, как если бы они были схемами из учебников. Узоры не просто красивы, но и математически точны. Они на удивление точно отображают фундаментальные принципы симметрии. Однако, математики приступили к анализу принципов симметрии только через несколько столетий после того, как плитки Альгамбры были установлены на свои места.
Квазикристаллическая плитка
В 1453 году анонимные мастера в святилище Дарби-и-Имам в Исфахане обнаружили для квазикристаллические узоры. Эти паттерны обладают сложными и загадочными математическими свойствами, которые математики не анализировали до открытия мозаик Пенроуза в 1970-х годах.
Такие узоры полностью заполняют пространство правильными формами, но в конфигурации, которая никогда не повторяется. Более того, не повторяется бесконечно, хотя математическая константа, известная как золотое сечение, встречается снова и снова.
Дэниел Шектман получил Нобелевскую премию 2001 года за открытие квазикристаллов, которые подчиняются этому закону организации. Этот прорыв заставил ученых пересмотреть свои представления о самой природе материи.
В 2005 году физик из Гарварда Питер Джеймс Лу показал, что с помощью плиток гирих можно относительно легко создавать такие квазикристаллические узоры . Плитки гирих объединяют несколько чистых геометрических форм в пять узоров: правильный десятиугольник, неправильный шестиугольник, галстук-бабочка, ромб и правильный пятиугольник.
Каким бы ни был метод работы, ясно, что квазикристаллические узоры в Дарби-и-Имам были созданы мастерами без углубленного изучения математики. Математикам потребовалось еще несколько столетий, чтобы проанализировать и сформулировать то, что сделали художники. Другими словами, интуиция предшествовала полному пониманию.
Перспективная и неевклидова математика
Геометрическая перспектива позволила изобразить видимый мир с новой правдоподобностью и точностью, совершив художественную революцию в итальянском Возрождении. Можно утверждать, что эта перспектива также привела к серьезному пересмотру фундаментальных законов математики.
Согласно евклидовой математике, две параллельные прямые останутся параллельными до бесконечности и никогда не встретятся. Однако, в мире эпохи Возрождения параллельные линии в конечном итоге действительно встречаются на далеком расстоянии, в так называемой «точке схода». Другими словами, перспектива Возрождения представляет собой геометрию, которая следует обычным математическим законам, но не является евклидовой.
Когда математики впервые изобрели неевклидову математику в начале 19 века, они вообразили мир, в котором параллельные линии пересекаются на бесконечности. Геометрия, которую они исследовали, во многом была похожа на геометрию эпохи Возрождения.
С тех пор неевклидова математика перешла к изучению пространства, имеющего 12 или 13 измерений, далеко за пределами мира эпохи Возрождения. Но стоит признать, что искусство эпохи Возрождения облегчило исследование и понимание пространства.
Хаотичные картины Поллока
Интересный современный пример искусства, который нарушил традиционные границы и который имеет многообещающие параллели с последними достижениями в математике - это картины Джексона Поллока.
Картины Поллока для тех, кто впервые с ними столкнулся, казались хаотичными и бессмысленными. Однако, со временем мы пришли к выводу, что в них есть элементы порядка, хотя и нетрадиционного. Их формы одновременно предсказуемы и непредсказуемы, подобно тому, как капает вода из крана. Невозможно предсказать точный маршрут следующей капли. Но если мы наметим схему капель, мы обнаружим, что они попадают в зону, имеющую четкую форму и границы.
Эта непредсказуемость была недоступна для математиков. Но в последние годы это стало одной из самых горячих областей математических исследований. Например, теория хаоса исследует закономерности, которые непредсказуемы, но попадают в определенный диапазон возможностей, в то время как фрактальный анализ изучает формы, которые похожи, но не идентичны.
Сам Поллок не проявлял особого интереса к математике. Его увлечение этими формами было интуитивным и субъективным. Любопытно, что математики не смогли точно описать, что Поллок делал на своих картинах. Например, были попытки использовать фрактальный анализ для создания числовой «подписи» его стиля. Но этот метод не сработал.
Тем не менее, одновременно хаотичные и упорядоченные модели Поллока указали на плодотворное направление развития математики. Когда-нибудь, вполне возможно, мы будем описывать творения Поллока с помощью математических инструментов. А художникам придется двигаться дальше и обозначать новый рубежи для исследования в области математики. А может и нет.
P.S. Благодарю за внимание! Подписывайтесь на канал, впереди много интересного. Загляните в телеграм-канал. Также слушайте подкаст на Яндекс.Музыка.
Все фотографии взяты из открытых источников.