Первое, что приходит в голову в ответ на этот вопрос — а для чего вообще их решать? Какой в них смысл?
Оказывается, за каждым уравнением стоит реальная задача. Сначала появились задачи, а уже потом уравнения, позволяющие эти задачи решать. Решать уравнения ради самих уравнений, действительно, имеет мало смысла.
Задача, с которой, возможно, зародилась идея уравнений
Племя запасло на зиму некоторое количество мамонтов. Одного мамонта съели. Выяснилось, что запас на зиму исчерпан. Сколько мамонтов было запасено?
Как решить эту задачу?
В любой задаче обычно надо найти какую-нибудь неизвестную величину. Решить задачу как раз и означает найти эту неизвестную величину.
Но как её искать? С чего начинать поиски?
Для решения задач специально придуман инструмент, который называется «уравнение».
Попробуем перевести текст нашей задачи на язык математики. Для перевода нужен словарь. Составим его. Ещё раз внимательно читаем текст:
Племя запасло на зиму некоторое количество мамонтов. Одного мамонта съели. Выяснилось, что запас на зиму исчерпан. Сколько мамонтов было запасено?
Судя по вопросу, надо найти количество запасённых мамонтов. Это количество и обозначим, например, буквой М. Лично мне она больше всего напоминает мамонтов, о которых идёт речь.
Запишем. Пусть количество запасённых мамонтов равно М. Словарь готов. Других неизвестных величин в задаче нет.
Приступим к переводу.
Племя запасло на зиму некоторое количество мамонтов.
Воспользуемся нашим словарём и запишем:
М. Это означает, что пока мамонтов не начали есть, их количество было равно М. Читаем дальше:
Одного мамонта съели.
На языке математики эта фраза означает, что запасённых мамонтов стало на 1 меньше. То есть их количество стало равно
Читаем дальше:
Выяснилось, что запас на зиму исчерпан.
Что говорит нам эта фраза о количестве мамонтов? Если запас исчерпан, то мамонтов не осталось. Их количество стало равно нулю. Вот и запишем всю фразу целиком:
Это и есть уравнение. Но пока это только пересказанный текст задачи.
А для чего мы его записали в таком виде? Чтобы найти неизвестное количество мамонтов М. На языке математики это называется «решить уравнение».
А что это означает? Это означает, что мы должны эту самую фразу М-1=0 пересказать другими словами, чтобы стало понятно, чему равно неизвестное количество запасённых мамонтов М. Начинаем пересказывать на языке математики.
Ещё раз внимательно посмотрим на наше уравнение:
Из неизвестного количества мамонтов М мы вычли единицу. Чтобы узнать, каким было количество мамонтов до вычитания единицы, надо эту единицу вернуть на место, то есть прибавить обратно к тому, из чего вычли. Значит, надо к М-1 прибавить1. Именно так мы и поступим.
Но при решении уравнения надо внимательно следить, чтобы не нарушался смысл уравнения, то есть смысл той фразы, которая стоит за уравнением.
За сохранением смысла как раз и следят правила математики. Правила математики взяты из жизни. Иначе, кому они были бы нужны?
В своё время мы любили играть во дворе в футбол. Все наши дворовые футболисты были примерно равны по силе. Поэтому на команды делились так, чтобы в командах было одинаковое количество игроков. Например, “5 на 5”. Если подходил ещё один желающий поиграть, ему обычно предлагали найти себе пару. Чтобы один из них зашёл в одну команду, а другой в другую. Чтобы не нарушить равенство сил команд. И если он находил пару, начинали играть “6 на 6”. В каждую команду добавляли по одному игроку.
Как добиться сохранения смысла фразы М-1=0?
Если мы собрались прибавить единицу к левой части уравнения, чтобы равенство не нарушилось, надо прибавить единицу и к правой части уравнения. Так и сделаем.
Вернём на место съеденного мамонта — прибавим 1 к левой части уравнения. При этом обязательно прибавим единицу и к правой части, чтобы сохранить «равенство сил команд». Получится вот что:
В уравнении появились арифметические действия. Есть возможность что-то сосчитать. Значит, надо сосчитать, чтобы уравнение упростилось. На языке математики это называется «упростить выражение».
Если мы уже можем сосчитать, сколько будет -1+1 и 0+1, то всё замечательно.
Мы знаем, что М+0=М, то есть если к любому количеству мамонтов прибавить ноль, это количество не изменится (тоже очень жизненное правило математики).
В левой части неизвестная величина, в правой конкретное число. И они равны друг другу. Это значит, что мы нашли неизвестную величину! К этому мы и стремились. Задача решена.
Для осознания результата переводим то, что получилось, с языка уравнений обратно на человеческий:
Равенство М=1 означает «количество запасённых мамонтов равно единице».
Теперь можно и ответ записать. Ответ: на зиму запасли одного мамонта.
Мы решили довольно серьёзную практическую задачу с помощью уравнения.
Конечно, встречаются и более сложные задачи. И, соответственно, более сложные уравнения. Тем не менее, принцип решения всегда один и тот же. Но об этом в следующей статье.
Автор: Владимир Тер-Григорян, математик, физик, репетитор, автор бесплатных и платных книг по подготовке к экзаменам по математике, отработал в школе почти 30 лет, считает семейную форму образования единственно возможной на сегодняшний день.
Опубликовано ЦСО "Хочу Учиться" школьная аттестация онлайн
Читайте другую статью автора:
Читайте статьи других авторов:
«Если вы хотите, чтобы ваши дети были умны, читайте им сказки»
Сдаёте аттестацию в школе? Узнайте, как прописать в заявлении свои условия!
Подробная инструкция по сдаче промежуточной аттестации на платформе «Хочу Учиться»
Ставьте 👍 и присоединяйтесь к нам, чтобы не пропускать новые статьи о СО