Можно ли обыграть казино?

Краткий курс математического ожидания.

Есть азартная игра — рулетка. Правила такие:

• Есть круг, поде­лён­ный на 38 частей.
• Из них 18 чёр­ные.
• 18 — крас­ные.
• Одно или два «зеро» зелё­но­го цве­та.
• Игрок ста­вит день­ги на что-то из это­го кру­га.
• Кру­пье запус­ка­ет шарик. Шарик кру­тит­ся по рулет­ке и выпа­да­ет на одно из полей.
• Если игрок уга­дал, куда упа­дёт шарик, он заби­ра­ет свою став­ку и сколько-то денег свер­ху.
• Если не уга­дал, его став­ка ухо­дит в кази­но.

Комбинаций ставок очень много, поэтому мы рассмотрим самую популярную ставку на красное или чёрное. Все остальные виды ставок и их результаты считаются по этой же схеме.

Если игрок ставит на цвет — красное или чёрное, — то получает назад удвоенную сумму ставки. Если ставит на конкретное число — получает в 35 раз больше, чем поставил.

Кажется, что с такими выплатами можно постоянно оказываться в плюсе: ведь достаточно угадать цвет, а он выпадает почти в половине случаев. Но всё наоборот: гораздо чаще люди проигрывают, чем выигрывают. Давайте разберёмся, почему так происходит.

🤔Такое уже было

Мы уже говорили про математическое ожидание, когда решали задачу про футболиста . Вкратце так:

• Мы рас­смат­ри­ва­ем какие-то веро­ят­ные собы­тия в буду­щем.
• Веро­ят­ность этих собы­тий опи­сы­ва­ет­ся чис­лом. Напри­мер, 1 — веро­ят­ность 100%, собы­тие точ­но про­изой­дёт. 0,5 — собы­тие про­ис­хо­дит в сред­нем в поло­вине слу­ча­ев.
• Если собы­тие свя­за­но с каким-то выиг­ры­шем или про­иг­ры­шем, мы исполь­зу­ем неслож­ную мате­ма­ти­ку, что­бы оце­нить при­быль­ность той или иной игры.
• Вот это чис­ло, кото­рое опи­сы­ва­ет при­быль­ность, — назы­ва­ет­ся мате­ма­ти­че­ским ожи­да­ни­ем.

Теперь разберёмся чуть глубже.

Вероятность событий

Допустим, мы кидаем обычный игральный кубик с числами от 1 до 6. Вероятность выпадения единицы — ⅙, потому что все стороны кубика одинаковые и выпадают случайным образом.

Это можно представить в виде простой математики:

👉 Если у нас есть несколько равновозможных и одинаковых событий, то вероятность наступления любого из них равна 1/n, где n — количество таких событий.

Математическое ожидание

Если взять строгое определение и написать его простыми словами, получится так:

Математическое ожидание — это когда мы складываем произведения вероятностей каждого события на их результат.

Это значит, что математическое ожидание — это усреднённый результат, который мы получим при каждой попытке сыграть в игру. Чем больше будет таких попыток, тем ближе наш результат к математическому ожиданию.

Поясним на примере с игральным кубиком.

Мы знаем, что вероятность выпадения каждой грани — ⅙, а числа на кубике идут от 1 до 6. Мы выбросили в первый раз: выпала 6. Второй раз — 1. Потом 4. Потом 2. Потом 5. И так далее Можно ли предугадать, какой будет средний результат после сотни-другой игр?

Оказывается, можно. Зная только вероятность и число очков на каждой стороне кубика, мы можем заранее сказать, каков будет средний результат выбрасывания этого кубика, если бросать его достаточно долго. Это считается по формуле:

( ⅙ × 1) + ( ⅙ × 2) + ( ⅙ × 3) + ( ⅙ × 4) + ( ⅙ × 5) + ( ⅙ × 6) = 21/6 = 3,5

Чем больше раз мы кинем кубик, тем ближе к этому числу будет наше среднее значение.

👉 Получается, что математическое ожидание показывает, какой результат мы получим в среднем, если будем играть в игру достаточно долго .

Бросаем кубик за деньги

Знание математического ожидания может помочь нам принять правильное решение во всевозможных азартных играх, спорах и финансовых делах.

Представьте такую игру: вам предлагают бросить игральный кубик и получить столько рублей, сколько выпало на кубике. Цена одного броска — три рубля. Стоит играть в такую игру или нет?

С точки зрения матожидания — да, стоит, и вот почему:

• Мы зна­ем, что мато­жи­да­ние при каж­дом брос­ке куби­ка — 3,5. В нашей игре это зна­чит, что сред­ний выиг­рыш за бро­сок после услов­ных 1000 брос­ков будет 3,5 руб­ля.
• Так как мато­жи­да­ние выше, чем сто­и­мость одно­го брос­ка, то нам нуж­но не про­сто согла­шать­ся на такую игру, а играть в эту игру как мож­но доль­ше, что­бы со вре­ме­нем вый­ти на сред­ние зна­че­ния при­бы­ли 0,5 руб­ля за бро­сок.

Можно кинуть кубик 10 раз подряд так, что на нём выпадут только 1, 2 или 3 — и тогда мы как будто в минусе. Но если мы будем играть в эту игру достаточно долго, мы будем в выигрыше.

👉 Главное, что нужно запомнить: математическое ожидание не гарантирует, что мы получим именно этот результат с первой попытки. Может, и с десятой не получим. Но если мы будем продолжать эти попытки достаточно долго, то вот тогда мы точно приблизимся к нужному результату.

❌ Только для честных

Матожидание имеет смысл обсуждать, только если мы знаем, что события действительно происходят случайным образом. Если против нас играет шулер с несбалансированным кубиком, то какие-то числа будут выпадать на нём чаще, а другие — реже, и тогда математика намного сложнее, а всё написанное выше и далее неприменимо.

Матожидание и рулетка

Теперь, когда мы знаем теорию, то можем посчитать матожидание для игры в рулетку и ставок на ней.

Многие думают, что если ставить на красное или на чёрное, то шансы выиграть или проиграть равные — 50 на 50. Но это не так. Всё дело в зеро — оно создаёт отрицательное математическое ожидание для игрока, и проиграть получается проще, чем выиграть. Сейчас внимательно следите за цифрами.

Если у нас одно зеро, то всего получается 18 чёрных + 18 красных + зеро = 37 ячеек в рулетке. Допустим, мы ставим на красное, тогда наш шанс на победу — 18/37 = 48,6%. Выходит, что шанс проиграть у нас выше — 51,4%. Разница — 2,8%.

Если при каждой ставке мы ставим тысячу рублей, то такая разница в шансах даёт нам отрицательное математическое ожидание в 28 рублей не в нашу пользу. Это значит, что в среднем при каждой ставке мы теряем 28 рублей с каждой тысячи.

Интересно то, что теряем мы их не каждый раз: нет такого, что после каждой ставки кто-то залез нам в карман и достал оттуда 28 рублей. Но если какая-то масса людей сделает какую-то массу ставок, то в итоге, по сумме денег, которая у них останется на руках, они увидят убыток 2,8%. Но так как они не будут считать деньги друг друга, они этого не узнают.

Казино зарабатывают именно за счёт зеро, которое создаёт отрицательное матожидание для игрока. Если в рулетке секторов зеро два, это в два раза увеличивает матожидание в пользу казино.

👉 Чтобы зарабатывать, казино не нужно мухлевать, заряжать рулетку, изготавливать намагниченные шарики и т. д. Достаточно просто иметь один шальной сектор, который создаёт отрицательное матожидание.

Ставка на число

Для ясности рассмотрим ещё один вариант ставок, когда игрок ставит на конкретное число или даже на зеро и при выигрыше получает в 35 раз больше, чем поставил.

Скорее всего, вы уже видите, в чём тут подвох: ставка больше в 35 раз, а секторов — как минимум 37. Это значит, что при ставке в тысячу рублей матожидание будет равно 35/37 × 1000 рублей = 945 рублей. Выходит, в этом случае игрок теряет даже больше, чем просто при выборе цвета — 55 рублей против 28.

👉 Если играть в рулетку долго, то из-за отрицательного матожидания игрок постепенно будет терять деньги, пока они не закончатся. Чем дольше играет, тем больше потеряет.

Но кто-то же иногда выигрывает?

Выигрыши в казино бывают, но это случайные события, которые невозможно гарантированно повторить. Например, можно поставить большую сумму на число и случайно выиграть в 35 раз больше и уйти. Именно в надежде на такой случай люди и ходят в казино.

Но при менее крупных выигрышах люди хотят увеличить прибыль, и в погоне за следующей удачей теряют на ставках все деньги, включая выигранные. А всё потому, что чем больше ставок делает игрок, тем сильнее работает матожидание в пользу казино и тем быстрее он проиграет всё, с чем пришёл.

А вот казино зарабатывает всегда, пока в его зале много людей. Много людей — много ставок. При отрицательном матожидании казино зарабатывает предсказуемо и всегда, а его клиенты — случайным образом.

Вспомнилась сцена из «Волка с Уолл-стрит»

В начале фильма герой Ди Каприо сидит в ресторане с героем Макконахи, старым прожжёным брокером. И Макконахи говорит Дикаприо что-то в таком духе: «Наши клиенты покупают ценные бумаги и думают, что они богачи. Но это как рулетка, эти бумаги могут завтра же обесцениться. А мы с тобой забираем нашу гарантированную комиссию».

И ещё одно: матожидание и бюджет

Матожидание — красивая картинка, но есть подвох. Считать результаты сотен и тысяч игр имеет смысл, если у вас неограниченный бюджет. Если у вас бюджет ограничен, вам может его не хватить, чтобы воспользоваться матожиданием.

Допустим, вы пришли в единственное в мире казино, которое даёт вам положительное матожидание. Но есть ограничение: минимальная ставка — 10 тысяч рублей. Что дальше:

• Если у вас в кар­мане 100 тысяч руб­лей, то после 10 про­иг­ран­ных ста­вок под­ряд у вас закон­чат­ся день­ги. Вы даже не успе­е­те вос­поль­зо­вать­ся мато­жи­да­ни­ем.
• Если у вас в кар­мане мил­ли­он, вам хва­тит на 100 про­иг­ран­ных ста­вок. Сто — это на гра­ни. Может быть, вы нач­нё­те ощу­щать эффект от мато­жи­да­ния, а может и нет.
• Для уве­рен­но­сти вам нуж­но прий­ти в кази­но с 10 мил­ли­о­на­ми в кар­мане. Но даже в таком слу­чае при мато­жи­да­нии +2% в вашу поль­зу вы уйдё­те из кази­но с при­бы­лью 200 тысяч. Если бы вы поло­жи­ли те же 10 млн на вклад, вы бы при нынеш­них став­ках полу­чи­ли при­быль 300 тысяч.
• И это — в несу­ще­ству­ю­щем кази­но с поло­жи­тель­ным для вас мато­жи­да­ни­ем. В при­ро­де таких нет.

Короче: храните деньги в сберегательных кассах. Казино всегда зарабатывает. Матожидание — бессердечная сволочь.

Так что, можно ли обыграть казино?

Выиграть в казино можно. Вероятности выигрыша здесь выше, чем в лотерее, но всё равно они исчисляются единицами и долями процента. Главное правило — идти в казино с теми деньгами, которые не жалко потерять, и если выиграл — остановиться.

А вот обыграть казино нельзя.

Что дальше

Сделаем виртуальную рулетку с виртуальными ставками и попробуем смоделировать игру в казино. Посмотрим, как работает наше матожидание на практике.