Вопрос "что такое расстояние" в расширяющейся Вселенной не так прост. Речь даже не о том, что если свет от звезды летел миллион лет, то до звезды может быть уже больше из-за расширения и ее собственной скорости относительно нас. Вообще расстояния можно определять по-разному.
Первое, что приходит на ум — это собственное расстояние. Вспомним метрику Фридмана. Если брать только радиальное направление и принять кривизну k Вселенной за нуль, метрика имеет вид
Здесь s — это "интервал", и он одинаков в любой инерциальной системе. Расстоянием между двумя точками назовем модуль интервала между одновременными событиями. Тогда dt=0 и все довольно наглядно: |s|=a(t)r. Если расстояние не чисто радиальное, добавятся еще слагаемые, но это тоже наглядно.
Если кривизна не нуль, то собственное расстояние s отличается от координатного (ar в данном случае).
Недостатком собственного расстояния является требование одновременности, которое трудно воплотить в реальных измерениях. Зато видно, что в расширяющейся Вселенной расстояние будет увеличиваться, хотя сами системы отсчета могут быть взаимно неподвижны.
Второе понятие расстояния — угловое расстояние. Но прежде поговорим о красном смещении. Космологическое красное смещение отличается от эффекта Допплера, хотя формально результат такой же. Дело в том, что пока волна распространяется в растягивающемся пространстве, она сама растягивается.
Если взять ту же метрику и светоподобную геодезическую, то ds=0, откуда cdt=a(t)dr. В течение небольшого интервала времени Δt величина a(t) изменится незначительно, так что Δt/a(t)=Δr/c. Правая часть от времени не зависит, значит, и левая не зависит, то есть интервалы времени так же растягиваются, как и a. Период волны "там" был "тогда", в один момент времени, когда a(t) имело одно значение; а "здесь", через миллион лет, a(t) уже другое, и период, соответственно, тоже. В расширяющейся Вселенной a(t) растет, поэтому растет и период, то есть длина волны.
Отношение длин волн, оно же отношение a(t1)/a(t2), обозначают 1+z и это и есть красное смещение. В расширяющейся Вселенной z>0.
Угловое расстояние определяется просто. Угловой размер объекта есть отношение диаметра к собственному расстоянию. Множитель a(t) можно выразить через красное смещение, а координатное расстояние вдоль светоподобной радиальной геодезической r — из метрики. При нулевой кривизне Вселенной получим довольно сложное выражение:
Здесь слева расстояние, омеги обозначают долю плотности материи и темной энергии, H — постоянная Хаббла в данный момент. При ненулевой кривизне всё еще более громоздко, и я не буду выписывать: см. источник.
Получается, что мы можем определить расстояние по красному смещению, а через него узнать диаметр объекта, зная его угловой размер. Или наоборот, зная диаметр и угловой размер, можно вычислить расстояние по красному смещению как функцию от космологических параметров, и уточнить их. Об этом в другой раз подробнее.
Интересно, что указанная зависимость расстояния от красного смещения может быть немонотонной, достигая максимума при каком-то значении z. Тогда объект данного диаметра не может иметь угловой размер меньше некоторого, как бы далеко не находился. По-видимому, у нашей Вселенной доля материи около 0.3, темной энергии около 0.7, что дает минимальный угловой размер при z~1. См. рисунок.
Это понятно, если вспомнить: свет был испущен от отдаленного объекта, когда Вселенная была меньше и он был ближе.
Третье понятие расстояния — расстояние по светимости. Оно определяется как
где L — светимость объекта (мощность, то есть энергия в единицу времени, излученная на всех частотах), а F — наблюдаемая светимость (энергия в единицу времени на единицу площади). Формула очевидна, так как выражает ослабление энергии по закону обратных квадратов.
Любопытно, что интеграл светимости по полному телесному углу не равен излученной энергии (хотя кажется, что должен, по закону сохранения энергии). Но фотоны увеличивают длину волны из-за красного смещения. После небольших выкладок получается связь между координатным расстоянием, угловым расстоянием и расстоянием по светимости через красное смещение:
Если вспомнить, что в плоской Вселенной собственное расстояние равно a(t)r, получаем связь между всеми видами расстояний.
Для близких объектов все четыре определения дают почти одно и то же, но для далеких это разные вещи, и надо четко оговаривать, что имеется в виду в каждом случае.
Подробнее см. в
Также см. статью-введение
[2] ΛCDM Comology for Astronomers.
Оглавление рубрики и Путеводитель по каналу