Ященко И.В. Профиль. Сборник-2021. Вариант 26, задание 13

Математика онлайн. Доступно о сложном

Задание 13 профильного ЕГЭ. Сборник 2021 года под ред. Ященко И.В., 36 вариантов. Вариант 26

1 способ

Заметим, прежде всего, что аргумент косинуса в 2 раза больше аргумента синуса, и применим формулу косинуса двойного угла.

Получаем уравнение, сводящееся к квадратному

Далее сделаем замену переменной и получим квадратное уравнение. Решим его и увидим, что найденные корни принадлежат множеству значений синуса.

Решаем квадратное уравнение

Теперь можно вернуться к первоначальной переменной и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений.

Для нахождения значений x решаем совокупность уравнений

Получили 3 серии корней

Ответ готов. Отметим найденные значения на тригонометрической окружности, чтобы проверить, нельзя ли объединить какие-то из серий корней.

Видим, что все значения отличаются друг от друга на pi /3 (60 градусов). Это позволяет записать ответ короче.

Объединяем серии корней

Данное уравнение можно решить и по-другому.

2 способ

Применяя одну из формул приведения, получим в левой части разность синусов, что позволит перейти к произведению тригонометрических функций. Конечно же, можно перейти и к косинусам, ответ от этого не изменится.

Другой подход к решению. Используем формулу разности синусов

Упрощаем аргументы, а также учитываем нечетность синуса и четность косинуса (последняя операция позволяет немного упростить дальнейшие вычисления).

Упрощение уравнения

Вспоминаем, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, и преобразуем полученное уравнение в совокупность простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение сводится к совокупности более простых уравнений

Решаем их и, используя тригонометрическую окружность (рис. выше), определяем, что вторая серия корней является частным случаем первой.

Решая вторым способом, получили тот же ответ

Выбор корней

Осталось отобрать корни, принадлежащие указанному в условии задачи отрезку. Сделаем это, например, при помощи двойного неравенства.

Составляем и решаем двойное неравенство

Получена оценка для целочисленного n

Очевидно, что параметр n может принимать только значения 0,1 и 2.

Остается подставить вместо n найденные значения

Таким образом, заданному отрезку принадлежат три корня.

В данном задании не потребовалось учитывать область определения. Но в следующем, двадцать седьмом, варианте необходимо учесть, что подлогарифмическое выражение неотрицательно.

Посмотреть решение 13 задания 27 варианта можно на моем сайте.

Все статьи серии "Задачи профильного ЕГЭ"

О канале

Рубрикатор канала

Тесты по математике

Не забудьте подписаться на канал, если

- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;

- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).