#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Здравствуйте, уважаемые читатели! Не секрет, что многих из Вас интересуют способы устного или мгновенного умножения — тому свидетельство Ваш интерес к статьям рубрики #хакнем_математика и статьям на эту тему, которые опубликованы на нашем канале.
Предлагаю рассмотреть здесь следующие, практически устные, способы умножения м н о г о з н а ч н ы х чисел на степени числа 5 . При этом сравнительно небольшие трёхзначные числа можно умножать действительно устно, ну а числа с бОльшим числом знаков будем умножать устно, но с записью результата.
Умножение на 5
I. Основная идея умножения на 5 состоит в простом факте: умножение на 5 можно заменить умножением на 10 с последующим делением на 2 .
При этом умножение на 10 можно не производить, а сразу делить умножаемое на 2 с остатком, который в этом случае может принимать только два значения: 0 и 1 — в первом случае следует приписать справа к полученному частному цифру 0, что и является результатом умножения его на 10, во втором — 5 .
Пусть требуется найти значение произведения 747 × 5 .
Представим себе результат деления числа 747 на 2 по формуле деления с остатком : 747 = 2 × 373 + 1 – значит, 747 × 5=3735.
Получение частного при делении на два при большем числе цифр вполне возможно в режиме устного вычисления: будем записывать после знака равенства последовательно получаемые цифры частного, при этом желательно уметь определять число знаков произведения для того, чтобы представлять себе его разбиение на классы.
Пусть требуется найти произведение 8 475 672 × 5 .
В произведении на один знак больше (что будет иметь место во всех случаях, когда старшая цифра умножаемого числа имеет значение больше единицы), нежели в многозначном сомножителе, который является чётным числом — значит, произведение будет заканчиваться цифрой 0:
8 475 672 × 5 = 42 378 360 .
В случае нечётного числа произведение окончится цифрой 5:
478 953 877 × 5 = 2 394 769 385.
Если многозначное число начинается с цифры 1, то в произведении будет столько же знаков сколько в умножаемом числе:
194 785 273 × 5 = 973 926 365 .
Описанный способ умножения на 5 не на много рациональнее традиционного способа умножения, но вот умножение этим способом на 25 уже выглядит предпочтительнее.
Умножение на 25
II . Умножение на 25 основано на той же идее, что и умножение на 5, с той только разницей, что 25 × 4 = 100 — значит, нам следует искать число четвёрок, которое содержится в умножаемом на 25 числе m = 4 n + r , где n — число четвёрок, содержащихся в m, а r — остаток от деления m на 4.
Поскольку r Є {0, 1, 2, 3}, то к частному от деления m на 4 следует приписать соответственно либо два нуля, либо числа
1 × 25 = 25, 2 × 25 = 50, 3 × 25 = 75 ,что одновременно соответствует умножению этого частного на 100.
Не вызовет затруднений устное умножение трёхзначных чисел — достаточно устно разделить трёхзначное число на 4, что вполне возможно отработать без особых усилий, представить себе запись полученного результата, и дополнить её, в зависимости от остатка, полученного при делении, двумя цифрами 00, 25, 50 или 75.
Возможно устное умножение на 25 и более многозначных чисел — достаточно просто записывать после знака равенства цифры, получаемые в процессе деления неполного частного, ну а по окончании деления приписать к полученному частному пару цифр 00, 25, 50 или 75 в зависимости от полученного остатка.
Если старшая цифра числа m, меньше числа 4, то в получаемом произведении будет на одну цифру больше, нежели в числе m, во всех других случаях в произведении будет на 2 цифры больше
например, 3 456 367 × 25 = 86 409 175,
6 765 353 × 25 = 169 133 825.
Умножение на 125
III. Наиболее эффектен и эффективен описанный способ при устном умножении трёхзначного числа на 125, который однако требует предварительных упражнений на запоминание следующих чисел:
1 × 125 = 125, 2 × 125 = 250, 3 × 125 = 375,
4 × 125 = 500, 5 × 125 = 625, 6 × 125 = 750 и 7 × 125 = 875.
Поскольку 125 × 8 = 1 000, то умножение трёхзначного числа на 125 успешно заменяется делением на 8, с последующим приписыванием к полученному частному тройки чисел 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875 в зависимости от полученного остатка.
При этом полученное частное обозначает число тысяч в произведении, а дописываемые цифры — число единиц.
Ради экономии места не буду приводить примеры умножения на 125 трёхзначных чисел, а покажу пример умножения двадцатизначного числа на 125.
Заданное мне руководителем канала число
(53 624 567 123 465 579 876), начинается с цифры 5 < 8 — значит, частное от его деления на 8 будет содержать на одну цифру меньше самого числа, ну а произведение будет на две цифры длиннее. Если бы первая цифра была бы не меньше 8, то частное содержало бы столько же цифр, сколько и само число, ну а произведение было бы на три цифры длиннее.
Приступим (читателю придётся поверить мне на слово, что вычисления проводились действительно устно):
53 624 567 123 465 579 876 × 125 =
=6 703 070 890 433 197 484 500 .
К расположению в две строчки я прибёг для того, чтобы не сбиться в процессе вычислений цифр частного с порядка следования цифр.
В заключение приведу обобщение этого способа умножения.
Пусть m — умножаемое трёхзначное число, для определённости начинающееся с цифры, не меньше по значению цифры 2^n;
a , b , c — цифры, причём a ≠0 ; r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Напомню свойство деления произведения двух (или более) чисел на третье число:
Если требуется разделить произведение двух (или более) чисел на третье число, то можно разделить на это число один из сомножителей и полученное частное умножить на другой сомножитель (на произведение других сомножителей):
где n может принимать значения 1, 2 или 3.
то в произведении будет на одну цифру меньше.
Каждый читатель может для себя решить: пользоваться или нет приведёнными способами. За себя могу сказать, что один раз использование этого способа очень помогло мне, но это совсем другая история. Могу ещё добавить, что на практике не раз убедился, что эти способы легко осваиваются третьеклассниками в процессе игры, которую я использовал для развития у них навыков деления.
Желаю всем, дочитавшим статью удачи и успехов и не только в учёбе.
Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Читайте наш канал в телеграм — по этой ссылке