Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1 , В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника AB1 C1.
а) Докажите, что C1 Q - биссектриса угла АС1 В1.
б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АВ1 С1, если известно, что ВС = 7. АВ = 15, АС = 20.
Решение:
а) Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны. Тогда АС1 = АВ1 .
∆АС1 F = ∆AB1 F (по двум сторонам и углу между ними: AF - общая сторона, AC1 = AB1 , ∠ FAC1 = ∠ FAB1 - по условию ). Тогда С1 F = B1 F, то есть ∆QC1 B1 - равнобедренный треугольник.
Угол, образованный касательнoй и хордой, проходящей через точку касания, равен половине величины дуги, заключенной между его сторонами:
Касательная - AC1
Хорда - QC1
Дуга, заключенная между касательной и хордой, - QC1
Тогда ∠ QC1 A = ◡ QC1 /2
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: ∠ QB1 F = ◡ QC1 /2
Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠ QB1 F = ∠ QС1 F
Получаем: ∠ QB1 F = ∠ QС1 F = ∠ QC1 A = ◡ QC1 /2 => QC1 - биссектриса угла AC1 F.
б) Заметим, что AQ и C1 F пересекаются в точке Q. Известно, что центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника, то есть в точке Q. Тогда расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АВ1 С1, равно отрезку OQ = r (где r - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС)
Вспомним формулу: S = pr (p - полупериметр треугольника). Отсюда получаем, что r = S/p
По формуле Герона находим площадь треугольника АВС:
S = 42
p = 21
r = S/p = 42/21 = 2
Ответ : б ) 2