Основная теорема анализа или же теорема Ньютона - Лейбница несложно доказывается в любом курсе математического анализа, но часто ее доказательство теряется в куче страниц с доказательствами дополнительных лемм, и студент готовясь в последний вечер к экзамену не всегда должным образом понимает эту одну из самых важных теорем анализа.
Суть теоремы заключается в том, что она является связующим мостом между понятием производной, определяемым как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, и понятием определенного интеграла, который определяется через суммы Дарбу. Эти определения я полагаю вам знакомы:
Не будем формулировать теорему, а просто сделаем некоторые выкладки и посмотрим, что из этого получается.
Итак рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом как функцию, которая определяет площадь до координаты x.
Рассмотрим площадь между двумя точками x1 и x2:
Тогда получим что площадь под кривой между двумя этими точками будет равна:
Переходя к пределу получим:
Из результата который мы получили в виде последней формулы, вытекают понятия неопределенного интеграла, в котором функция F называется первообразной, а также всем знакомая еще из школы формула для вычисления определенного интеграла - формула Ньютона - Лейбница:
Подобные выкладки сложно назвать доказательством, это скорее показательство того в чем заключается суть этой простой, но крайне важной теоремы.