Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Решение:
а) Рассмотрим ∆АВС: ∠ BAC= ∠ BCA (так как AB = BC)
Пусть ∠ BAC = ∠ BCA = x˚
∠ BCA = ∠ BDA = x˚ (так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны)
Аналогично ∠ BAC = ∠ BDC = x˚
∠ BDC = DBC = x˚ (так как BC = DC)
∠ DBC = ∠ DAC = x˚ (так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны)
Получаем, что ∠ CAD = ∠ BCA = x˚. Отсюда следует, что BC || AD при секущей AC.
б) Рассмотрим ∆ABC и воспользуемся теоремой синусов:
BC/sin ∠ BAC = 2R
BC/sinx = 2R
12/sinx = 16
sinx = 12/16
sinx = 3/4
Для того, чтобы найти сторону AD, воспользуемся теоремой синусов для ∆ADC:
AD/sin ∠ ACD = 2R
AD/sin(180-3x) = 2R
AD/sin3x = 2R
Найдем sin3x = sin(x+2x) = sinxcos2x + sin2xcosx = sinxcos2x + 2sinxcos2 x = sinx(cos2x + 2cos2 x) = sinx(2 с os2 x - 1 + 2cos2 x) = sinx(4cos2 x - 1) = sinx(4(1-sin2 x) - 1) = sinx(3-4sin2 x) = 3sinx - 4sin3 x = 3 ⋅ 3/4 - 4 ⋅ (3/4)3 = 9/4 - 27/16 = 36/16 - 27/16 = 9/16
Подставляем найденное значение sin3x в выражение AD/sin3x = 2R:
16AD/9 = 16
16AD = 144
AD = 9
Ответ : б ) 9