Потребность в счёте возникла ещё у первобытных людей и была такой же естественной, как потребность в добывании огня или пропитания. Самая древняя и примитивная система записи чисел — представление их в виде группы повторяющихся знаков: точек на камне, засечек на кости животного и т.п. Каждый такой знак обозначал единицу. Сама же система счисления получила название единичной, или унарной. Со временем на смену костям и камешкам пришли деревянные палочки и дощечки с зарубками, удобные тем, что их всегда можно было взять с собой. В древности ими пользовались многие народы, в том числе русский. Наши предки называли такие дощечки бирками. Неграмотные люди делали на бирках надрезы, указывая размер долга, раскалывали дощечки пополам, одну часть отдавали должнику, другую оставляли себе, а когда расплачивались, складывали их для проверки. Так долги не только записывали, но и запоминали. Бирку с метками называли иначе носом — от слова «носить». Отсюда произошли выражения «наруби себе на бирку» и «заруби себе на носу» — запомни раз и навсегда, никогда не забывай. Такой способ передачи числовой информации оказался чрезвычайно живучим, потому что был прост и доступен. Недаром именно его избрал для счёта времени Робинзон Крузо — герой романа Даниэля Дефо. Попав на необитаемый остров, он первым делом обзавёлся календарём: изготовил из бревна столб и каждый день отмечал на нём зарубками разной длины дни, недели, месяцы и годы своего пребывания на острове.
В России тоже издавна пользовались деревянными резными календарями, по сути, теми же бирками. С единичной системой счисления мы имеем дело и сегодня, например при подсчёте вручную голосов или при обучении детей счёту с помощью счётных палочек. Даже с появлением письменности многие народы продолжили изображать малые числа в виде группы одинаковых знаков: египтяне и китайцы — чёрточками, вавилоняне — клинышками, индейцы майя — точками. Приписал к трём чёрточкам ещё одну — получилось «четыре», зачеркнул лишнюю — осталось «два». Но ещё проще показать числа первого десятка на пальцах. Этим способом владеют маленькие дети, вовсе не знакомые с нумерацией. Спросите у малыша, сколько ему лет, — и он легко покажет свой возраст на пальцах. Кстати, у некоторых европейских народов числа от 1 до 9 так и назывались — пальцевые, а славяне именовали их перстами. Взгляните на записи и рисунок, нацарапанные детской рукой на берестяной грамоте. Их автор — мальчик Онфим, который жил в Новгороде в XIII веке. В верхней строке — бессвязный набор букв кириллицы, затем идёт упражнение в письме по слогам, в нижней строке — человечки с руками-граблями. Должно быть, маленький художник в то время осваивал письмо и едва приступил к счёту. Записывать числа он ещё не умел, поэтому изображал их с помощью пальцев-палочек. Человечки иллюстрируют ручной счёт, в котором сама рука обозначает 5, а палец — 1. Так просто и наглядно можно представить любое число в пределах первого десятка. Если у человечка все пальцы на месте, получается 10, если их всего три — 8, а если больше пяти (сохранились и такие рисунки), значит, мальчик с задачей не справился. Чтобы оперировать с числами в пределах 20, хватало и одной фигурки с двумя руками. Для более сложных вычислений требовался уже целый отряд человечков.
Славянская нумерация появилась на Руси вместе с письменностью и во многом повторяла греческую нумерацию, где числа изображались с помощью букв алфавита, над которыми для отличия ставилась черта. Буквы кириллицы записывали с особым значком в виде волнистой линии — титло (иногда также добавляли точки по бокам); они обозначали по порядку натуральные числа от 1 до 9, десятки и сотни. Правда, не обошлось без исключений. Так, для числа 2 использовалась буква «веди», а не «буки», поскольку в греческом языке после α идёт β и нетотдельных букв, соответствующих русским б и в. Названия десятков произошли от соединения двух слов: первое обозначает количество десятков (два, три …) и второе — слово «десять». Исключения — числа 40 и 90. Считается, что слово «сорок» вытеснило более древнее «четыредесят». Связано это с тем, что когда-то на Руси был обычай продавать шкурки ценного меха сороками — связками по 40 штук, и со временем название торговой счётной единицы закрепилось за числом. Слово «девяносто» — производное от выражения «девять до ста», то есть 9 десятков до сотни (а по другой версии — 9 единиц, разделяющих числа 90 и 100). Числа от 11 до 20 обозначали двумя буквами, причём единицы стояли перед десятком. Отсюда произошли их названия: одиннадцать — «один на десять» (-дцать — сокращённое десять), двенадцать — «два на десять» и т.д. Остальные числа до 1000 записывали и читали в привычном для нас порядке. Наконец, тысячу было легко опознать по трём чёрточкам, напоминающим перечёркнутый знак равенства, их ставили внизу перед бук[1] вой. Все эти правила легко уяснить, если представить числа в виде суммы разрядных слагаемых. Как видим, ничего сложного в алфавитной нумерации нет. Она довольно удобна, поскольку позволяет компактно записывать числа и выполнять над ними арифметические операции. Однако эта система счисления не позиционная, в которой значение каждого знака (цифры) в записи зависит от его позиции (разряда). Алфавитная нумерация непригодна для записи сколь угодно больших чисел, потому что для этого надо вводить новые знаки, хотя на самом деле именно так и происходило. Впрочем, в те далёкие времена на практике с лихвой хватало «малого» счёта — до 10 000. А с появлением счёта «великого», добавились более высокие разряды: тьма — 106, легион — 1012, леодр — 1024, ворон — 1048 и колода — 1049. Названия перешли к ним из «малого» счёта, но с иным смыслом. Например, ранее «тьмой» славяне именовали 1000, а потом и 10 000, по их представлениям, не поддающееся счёту множество объектов, которое и вообразить нельзя. Для обозначения больших чисел наши предки придумали оригинальный и простой способ, до которого не додумались даже древние греки: они записывали число единиц любого из этих разрядов той же буквой, что и обычные единицы, и обрамляли её кружком из точек, рисунком из чёрточек и т.п. Правда, что именно могли считать в воронах и колодах, представить довольно трудно. Славянская нумерация встречается не только в церковных книгах и исторических документах. Различные варианты начертания «числового алфавита» есть и в древнерусских берестяных грамотах, и в торговых книгах, и в математических рукописях. А ещё числа, написанные кириллицей, можно обнаружить на старинных часах. В XVII веке такие часы украшали Спасскую башню Московского Кремля.
У них весьма необычная конструкция. Куда подевались стрелки и почему на циферблате не двенадцать чисел, а семнадцать? Оказывается, одна стрелка всё-таки есть — часовая, в виде луча солнца, но она неподвижна. Вращается же сам огромный циферблат в виде небесного свода, разделённый на семнадцать частей — по количеству часов в самом продолжительном световом дне в году. В то время сутки делились на две неравные части — часы дня (от восхода до заката солнца) и ночи (от заката до восхода). Их соотношение в течение года менялось, поэтому часовщикам приходилось периодически перенастраивать механизм часов и дважды в сутки вручную поворачивать циферблат, возвращая его в точку отсчёта. От славянской нумерации к арабской Арабской нумерацией (правда, придумали её в Индии) мы пользуемся до сих пор. Люди просвещённые были знакомы с нею и раньше, но широкое распространение она получила только в начале XVIII века, когда была введена Петром I. Известны также примеры «смешанной» системы записи чисел, относящейся к «переходному» периоду. Так, на некоторых монетах того времени год чеканки обозначен двумя арабскими цифрами и двумя буквами с титлами — видно, мастера-гравёры напутали. В знаменитой «Арифметике» Леонтия Магницкого, первом оригинальном русском учебнике математики, изданном в 1703 году, также использована двойная нумерация. Книга написана на славянском языке, числа в тексте напечатаны арабскими цифрами, а вот номера листов обозначены на старый манер. Однако это просто дань традиции. Привычная для нас постраничная нумерация арабскими цифрами была введена только после реформы русского алфавита 1708— 1710 годов. Любопытно, что в иллюстрированном «Букваре» Кариона Истомина, изданном в 1694 году, на странице с буквой Аз среди прочих предметов, название которых с неё начинается, изображена книга «Арифметика» с арабскими цифрами на развороте. Это их первое «неофициальное» появление в русской печатной книге − почти за 10 лет до выхода в свет учебника Леонтия Магницкого. Следы алфавитной нумерации, известной в древности у разных народов, сохранились до наших дней. Замена чисел буквами практикуется, например, при обозначении пунктов плана, рисунков в книге, однотипных примеров в задачнике.