Для уравнений со степенями выше 3 уже нет универсального решения через коэффициенты (a, b, c). Поэтому в прикладных задачах такие уравнения решают с помощью методов приближения. Например , с помощью «Метода хорд».
Метод хорд — итерационный численный метод приближенного нахождения корня уравнения. Этот метод применяется для нелинейных уравнений.
Пусть имеется уравнение вида
f(x)=0
где f(x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.
Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения x ,
которые обращают уравнение в тождество.
Если уравнение достаточно сложно, то задача точного определения корней является в некоторых случаях нерешаемой. Поэтому ставится задача найти такое приближенное значение корня xПP , которое отличается от точного значения корня x* на величину, по модулю не превышающую указанной точности (некая малая величина) ε , то есть
│x* – xпр │< ε
Величину ε также называют допустимой ошибкой , которую можно задать по своему усмотрению или погрешностью.
Этапы приближенного решения нелинейных уравнений
Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:
· Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f(x) , в каждом из которых содержится только один корень уравнения f(x)=0 .
· Уточнение корней до заданной точности.
Как происходит отделение корней? Существует два метода: графический и аналитический .
Для того чтобы графически отделить корни уравнения, необходимо построить график функции f(x) . Абсциссы точек его пересечения с осью Oх являются действительными корнями уравнения. Рассмотрим простой пример.
Решим уравнение y=0.5 x 3 -8x-20 . Для графического отсечения корней достаточно построить график функции:
Допустим нам надо найти погрешность до единицы. Из рисунка видно, что
корень уравнения лежит в промежутке x ∈ (4;5).
Аналитическое отделение корней
Аналитическое отделение основано на 2 теоремах:
Теорема 1 . Если непрерывная функция f ( x ) принимает на концах отрезка
[ a ; b ] значения разных знаков, т.е.
F(a)*F(b)<0
Это означает что на этом отрезке содержится хотя бы один корень.
Теорема 2 . Если непрерывная функция f ( x ) на отрезке [ a ; b ] принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f '(x) сохраняет знак внутри указанного отрезка, то внутри отрезка существует один единственный корень уравнения f(x) = 0 .
Существует множество методов уточнения корней:
· Метод итерации
· Метод Ньютона
· Метод Секущих
Итак, перейдем к методу Хорд (или методу Секущих) для нахождения корней уравнения. В чем он заключается?
Если x0 , x1 - приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 и выполняется условие:
F(a)*F(b)<0
то последующие приближения находят по формуле:
Преимущества . Преимущество метода Хорд заключается в его простоте. Он, в отличие от метода Ньютона, имеет плюс в том, что для расчета не требуется вычисления производных и интегралов. За это он расплачивается скоростью схождения (по сравнению с методом Касательных), но все равно остается быстрым. Скорость схождения метода Хорд равна золотому сечению :
a=1.618...
Метод Хорд в программировании. Алгоритм Метод хорд является a многократном повторении этого алгоритма. Полученное в результате вычислений решение является приближенным, но его точность можно сделать такой, какой требуется, задав нужное значение погрешности ε . Мы не будем вдаваться в подробности написания кода, лишь покажу его реализацию на языке программирования С++:
Метод Хорд очень важный и полезный инструмент, применяемый в алгебре, геометрии, матане, в программировании. Моя статья призвана помочь школьникам и студентам разобраться в этой нелегкой теме. Конечно, существует еще огромное количество других методов приближенного нахождения (некоторые я перечислял), но мне нравится, что в методе, о котором я рассказал в своей статье, нету сложных преобразований (производные, интегралы и др.)