В данной заметке речь пойдёт о выборе способа решения геометрической задачи. До разбора конкретного примера надо сказать несколько общих слов.
Обучая геометрии в школе, надо стараться показывать разные способы решения задачи потому, что это позволяет повторять разные теоретические факты, приёмы решения. Готовя школьников к экзамену, надо обращать внимание на более экономные по времени способы решения задач. Но беда в том, что излишняя зацикленность на экзаменах приводит к тому, что часто отрабатываются более экономные способы решения задач при помощи метода координат, векторного метода, но не показываются простые геометрические решения, требующие простых дополнительных построений. Это приводит к обеднению теоретического и практического опыта учащихся.
Начнём с решения задачи № 324604, выложенного на странице Прототипы задания 26 (ОГЭ) .
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника ABC .
Автор решения применяет формулы для вычисления медианы и биссектрисы и решает систему двух уравнений второй степени. Это достаточно трудоёмкое решение.
Другой автор на странице Алгебра для геометрии приводит начало решения той же задачи методом координат, но ошибается в обозначениях. У него число x — отрицательное. Тогда длина отрезка OB равна –x , где О — начало координат. Абсцисса точки E не 4 – x , а 4 – (–x ) = 4 + x .
А теперь приведём более экономные в вычислениях два способа решения задачи.
Способ 1.
1) BO — биссектриса и высота треугольника ABD, следовательно, AB = BD.
2) AD — медиана треугольника ABC, следовательно, BD = DC.
3) Проведём CM — перпендикуляр к BE, BO = OM по теореме Фалеса.
4) Из свойства биссектрисы треугольника следует, что AE : EC = AB : BC = 1 : 2.
5) Из подобия треугольников AOE и CME следует, что OE : ME = AE : EC = 1 : 2. Обозначим OE = x , ME = 2x. Тогда BO = 3x, BE = 4x = 4, откуда x = 1, OE = 1, BO = 3.
Мораль сей басни такова: не пренебрегайте чисто геометрическими способами решений геометрических задач.