Приветствую!
Здесь разберем задачу из первой части ЕГЭ. Задача 12, в которой обычно просят найти точку максимума/минимума, или наименьшее/наибольшее значение. Мы постараемся разобрать каждый тип задач.
Перед тем как решать, убедитесь что вы достаточно хорошо понимаете, что такое производная и для чего она нужна.
Сначала немного теории:
Точка максимума/минимума - это значение x. Если вас просят найти такую точку - не нужно подставлять значение x в функцию и искать значение функции.
Если вас просят найти наибольшее/наименьшее значение функции, то тут вам уже придется подставлять что-то в функцию, а вот что - зависит от задачи.
Начнем с простого(или не очень): исследование функции БЕЗ помощи производной.
У нас есть вот такой пример:
Нужно найти точку минимума
Логарифмическая функция возрастает на всей области определения. Логарифмируемое выражение - квадратный трехчлен. А где у нас наименьшее значение квадратного трехчлена? Коэффициент а - положительный, значит точка минимума будет вершиной. Как найти вершину? Можно найти производную, а можно вспомнить формулу из 8 класса? X(вершины) = -b/2a. X = 6/2=3. Значит 3 -точка минимума. На всякий случай подставим значение в функцию и проверим, определена ли она.
А теперь попробуйте сами найти наименьшее значение.
Пример с производной, найти точку максимума функции.
Найдем производную:
Приравняем к нулю и найдем критические точки.
Определяем знаки производной и поведение функции (Напоминание: производная положительна - значит функция возрастает. Производная отрицательна - функция убывает)
Чтобы найти знак производной нужно подставить любую точку из интервала В ПРОИЗВОДНУЮ, если выражение больше нуля, то производная положительна (логично) и наоборот.
На интервале от минус бесконечности до -4 ф-я возрастает, на интервале от -4 до 4 убывает. Если возрастание сменилось убыванием, то в этой точке максимум, если убывание сменилось возрастанием - минимум.
Точка максимума: -4.
Попробуйте самостоятельно найти: точку минимума, наибольшее и наименьшее значение функции.
Еще пример: Найти НАИМЕНЬШЕЕ значение функции на отрезке.
Найдем производную этой функции:
Здесь нужно воспользоваться формулой производной от частного.
Нетрудно догадаться, что производная равна нулю в точках 5 и -5, в точке 0 она не существует, но нам это не интересно, т.к. эта точка не входит в наш интервал [1;10].
Определяем знаки производной и поведение функции:
Точка x=-5. Ответ: -5.
Это еще не ответ, нас просят найти НАИМЕНЬШЕЕ значение функции. Значит точку 5 нужно подставить в функцию.
Y(5) = (25+25)/5 = 10.
Ответ: 10.
Небольшое лирическое отступление: для чего нам нужен этот интервал? Интервал нужен, т.к. наименьшее значение может существовать где-то там, далеко на промежутке слева. Функция возрастает на [-∞;-5], там может найтись значение, которое меньше, чем 10, но определить его нельзя.
Еще один интересный пример:
Найти наибольшее значение функции y=x*x, на интервале [5;10].
Здесь все очень просто. Функция имеет минимум в точке (0;0) (вершина параболы), на промежутки от нуля до бесконечности она возрастает, значит наибольшее значение будет на правом конце интервала. Подставляем точку 10 в функция и получаем у(10) = 100. Готово!
На реально ЕГЭ, конечно, таких заданий не будет, но для тренировки сойдет. Попробуйте сами найти наименьшее значение функции y=2x*x, на отрезке [-5;-2].
Еще пример:
Найти точку максимума
Великое и ужасное число е. Или, как его ошибочно называют ученики - экспонента. Напоминаем, экспонента - это ф.-я y=e^x.
Глаза боятся, руки делают, ищем производную:
Правая часть равна нулю только тогда, когда 8-х = 0. Значит нулевой точкой будет x = 8.
Подставляю точку в производную, ищем знаки.
Точка 8 - точка максимума функции.
Попробуйте сами найти для этой функции: наибольшее значение, наименьшее значение на промежутке [9;20].
На этом все, решения будут в следующей статье!
