Ходят поверья, что ЕГЭ с каждым годом упрощается, и его сложность намного меньше, чем была в самом начале. В этой статье я хочу показать самое легкое задание из второй части ЕГЭ по профильной математики, для учеников это самый легкий первичный балл, который можно получить. Это 19-ое задание пункт "а", для решения этого номера не нужно знать каких-то теорем или свойств, ведь это задание в основном решается самым обыкновенным подбором. Сможете ли вы решить самое легкое задание из ЕГЭ?
Решения будут в конце статьи, также я прикреплю пункты "б" и "в" из этого номера, но это для более прошаренных математиков.
Небольшая подсказка: если в пункте "а" у вас спрашивают " существует ли такое...", " возможно ли..." и т.д., то ответ скорее всего будет "да", но его нужно подтвердить примерами, при которых данное условие выполняется.
Задания:
1)
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?
2)
Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
3)
Два игрока ходят по очереди. Перед началом игры у них есть поровну горошин. Ход состоит в передаче сопернику любого числа горошин. Не разрешается передавать такое количество горошин, которое до этого уже кто‐то в этой партии передавал. Ноль горошин тоже передавать нельзя. Тот, кто не может сделать очередной ход по правилам, — считается проигравшим. Начинающий или его соперник победит в этой игре, как бы ни играл партнёр?
Рассмотрите случаи:
а) у каждого по две горошины;
б) у каждого по три горошины;
в) у каждого по N горошин.
4)
Каждый из 32 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S .
а) Приведите пример, когда S < 14.
б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 11?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 11?
Ответы:
1)
а) Например, если из числа 123456789 вычеркнуть цифры 2, 7 и 9, то получится число 134568, кратное 72.
б) Предположим, что можно вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72.
Если число кратно 72, то оно чётное. Значит, цифры 7, 5, 3 и 1 должны быть вычеркнуты. Получается число 84692. Оно не кратно 72, поэтому из него надо вычеркнуть цифры так. чтобы получилось число, кратное 72. Значит, сумма оставшихся цифр должна делиться на 9, то есть сумма вычеркнутых цифр должна быть равна 2, 11 или 20. Это возможно, только если вычеркнуть или 2, или 2 и 9, или 2, 4, 6 и 8. Ни одно из получающихся чисел: 8469, 846. 9 — не делится на 72.
в) Заметим, что все цифры числа 124875963 различны и не равны нулю.
Если вычеркнуть из исходного числа 8 или 7 цифр, то получится число, меньшее 100. Среди таких чисел только 72 делится на 72, но его нельзя получить при вычёркивании цифр из исходного числа.
Если вычеркнуть из исходного числа 6 цифр, то получится трёхзначное число. Среди трёхзначных чисел, все цифры в которых различны и не равны нулю, на 72 делятся только следующие: 216, 432, 576, 648, 792, 864, 936. Ни одно из них нс получается при вычёркивании из числа 124875963 нескольких цифр.
Значит, нельзя вычеркнуть более 5 цифр так, чтобы получившееся число было кратно 72. Пять цифр вычеркнуть можно. Например, если вычеркнуть цифры 4, 8. 7, 5 и 3. то получится число 1296, кратное 72.
2)
Присвоим каждой карточке номер от 1 до 10. Пусть a 1, a 2, ..., a 10 — числа, данные в условии и записанные на карточках вначале (число ak записано на карточке с номером k ).
Аналогично, b 1, b 2, ..., b 10 — числа того же набора, но записанные на карточках после их перемешивания. Согласно условию рассматривается число:
с=(a1+b1)(a2+b2)...(a10+b10)
а) Предположим, что c = 0. Тогда в произведении найдётся нулевой множитель, то есть ak+bk=0 для некоторого k . Но это невозможно, так как в данном наборе ни для какого числа ak нет ему противоположного по знаку. Значит, 0 получиться не может.
ответы на пункты "б" и "в" даже я, как сдающий в этом году ЕГЭ, не понял, поэтому думаю оно мало что вам даст.
3)
а) Первый игрок либо отдаст второму две горошины (на это второй даст ему одну, и у первого не будет ходов), либо отдаст одну. В этом случае второй игрок может отдать ему две горошины, назад получит три, отдаст четыре и победит. Так или иначе выигрывает второй игрок.
б) Если первый игрок отдаст три или две, назад получит одну и сразу проиграет. Если же отдаст одну, то назад получит две. Далее у первого два варианта хода, но оба плохи: отдав 4, он получит назад 3 и проиграет, а отдав 3, получит 4, будет вынужден отдать 5, получит 6 и всё равно проиграет.
в) Победит второй игрок, придерживаясь правила: «всякий раз отдавай минимально возможное число горошин». Докажем, что это действительно выигрышная стратегия. Достаточно показать, что у второго игрока всегда будет ход. Начинает игру у нас первый игрок, но мы схитрим и сделаем так, чтобы игру начинал второй: предположим, что второй (условно) передаёт сначала первому 0 горошин. Теперь можно видеть, что всякий раз в ответ на ход второго первый игрок вынужден будет отдать ему больше, чем сам получил. Поэтому количество горошин у второго с каждым парным ходом будет увеличиваться хотя бы на одну. Перед K -ом ходом у него будет не менее N + K горошин. А отдать на K -ом ходу он в соответствии со своей стратегией должен не более 2K горошин. Это осуществимо, поскольку более чем N ходов игра длиться не может, а значит N + K ≥ 2K .
4)
а) Например, если 28 студентов писали обе контрольные работы и получили по 15 баллов за каждую, 2 студента писали первую контрольную работу и получили по 0 баллов, 2 студента писали вторую контрольную работу и получили по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 14,
S=(15*28+0)/32=105/8<14;
) Пусть a — сумма баллов всех студентов, которые писали только одну контрольную работу, b — сумма наибольших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы, c — сумма наименьших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы. Поскольку средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 14, средний балл по обеим контрольным работам тоже равен 14. Всего было написано 34 контрольные работы. Значит, общее количество набранных студентами баллов равно 14*34=476 Тогда получаем: a+b=11*32=352, a+b+c=476, откуда с=124. Но сумма наименьших баллов двух студентов не может превосходить 40. Значит, такая ситуация невозможна.
Ну вот и всё, это были примеры самого легкого номера из второй части ЕГЭ по профильной математике. Сколько смогли решить? Такое ли простое ЕГЭ, как его обзывают?
Жду вашей активности: спрашиваете в комментариях всё про ЕГЭ, я, как сдающий его в этом году, обязательно отвечу на ваши вопросы в следующих статьях.