Среди всех заданий №13 встречаются совсем уж "лакомые кусочки". Давайте сразу с места - в карьер. Вот один из примеров 13-го задания:
Начнем с того, что в случае показательных уравнений нам не нужно переживать по поводу ОДЗ - области допустимых значений аргумента. Никаких ограничений для "икса"! И, все же, далеко не всем бывает ясно, как же это все теперь решать.
Как мы действуем в таких случаях? С чего начинаем?
Правильно: просто вводим замену переменной.
Но сначала немного "причешем" первое уравнение, чтобы все стало совсем очевидно и прозрачно. Вот так:
Да, здесь важно оговориться, что в таком случае наша переменная t всегда положительная. Обязательно вспомним об этом, когда найдем корни. Корни можно искать через дискриминант, либо по теореме Виета - уравнение ведь получилось приведенным (коэффициент при "тэ-квадрат" равен единице).
Очевидно, что сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Под эти критерии подходит только пара корней:
Оба корня положительны, так что нам не о чем беспокоиться в плане "подходят или не подходят". Все подходит.
Для дальнейших рассуждений нам нужно вспомнить о том, что логарифмы по основаниям, большим единицы, являются монотонно возрастающими функциями на всей области определения. Наши логарифмы по основанию 2 именно такие. А, значит, если х1>х2, то и f(x1) >f(x2).
Возвращаем изначальную переменную "икс" и получаем вот что:
Итак, найдены оба корня. Правда, они выражены через логарифмы, но такое здесь (в ЕГЭ) в порядке вещей. Остается ответить на вопрос пункта "б", а именно: "Какие из этих корней принадлежат отрезку от 2 до корня из 10?"
Если представлять двойку в виде логарифма по основанию 2, то это будет
Таким образом ясно, что корень "логарифм 3 по основанию 2" не принадлежит данному промежутку, находится левее "двойки".
Теперь давайте подумаем, как быть с корнем из 10. Тут все просто. Корень из 10 больше, чем три. Поэтому:
Итак, ясно, что второй корень принадлежит указанному промежутку.
Возможно, что уравнение кому-то на первый взгляд показалось коварным... Но в реальности оказалось вполне белым и пушистым, верно?
Путь решения, надеюсь, понятен. Если что, пишите ваши вопросы в комментариях, с удовольствием отвечу. А в задании наш окончательный ответ будет вот таким:
Вот и всё. Показательные уравнения методом замены переменной решаются довольно просто. :)
Успехов вам в вашей учебе и экзаменов!
Спасибо, что дочитали до конца, и до встречи в следующих статьях :)