Интересное подобие треугольников / Геометрия №25 / ОГЭ

25-е задания вообще тема интересная, но тут прям «картина».

Мы рассмотрим лишь один из возможных способов решения этой задачи, с применением подобия. Подобие на экзамене встречается всё чаще во второй части (или даже только во второй) но «подобие подобию рознь», а вот тут даже «рейтинг подобных треугольников» составили. Очень интересная тема. Начнём?

Задача

Рис. 1. Условие из открытого банка заданий ОГЭ (CBF1A6)

Рассуждение

• Треугольник вписан в окружность, через вершину A провели диаметр, а через вершину B перпендикулярную диаметру хорду.
• Известны две стороны, но это ничего пока не даёт.
• Нужный отрезок CD - часть стороны AC, а значит часть хорды. Пересекающиеся хорды.

Решение

Решение начнём, как всегда, с рисунка. Тут совет сперва нарисовать диаметр и отметить вершину A, потом перпендикулярную хорду из вершины B, а потом уже отметить на окружности оставшуюся вершину C.

Рис. 2. BD⟂AO

Достроим хорду AE, ∆ABE - равнобедренный (диаметр делит хорду BE пополам - срединный перпендикуляр), углы при основании равны и дуги тоже равны.

Рис. 3. Равные дуги AB и AE на которые опираются равные вписанные углы

Рассмотрим ∆ABD и ∆ABC, в которых ∠BAD - общий. ∠ABD - опирается на дугу равную дуге AB, на которую в свою очередь опирается ∠ACB, а значит ∠ABD = ∠ACB. По двум углам (I признак подобия) эти треугольники подобны.

Рис. 4. Подобие по двум углам или I признак подобия треугольников

Подобие нам необходимо для составления пропорции.

Рис. 5. Отношение соответственных сторон и следствие

Подставив в отношение известные стороны AB и AC мы найдём отрезок AD и уже по свойству длины отрезков вычтем его из AC и узнаем DC.

AD = 72;
DC = 26.

Ответ: 26

Заключение

А использовали мы следующее:

• Диаметр перпендикулярный хорде - это срединный перпендикуляр;
• Вписанные углы;
• Подобие треугольников.

Применение

Ищите свой идеальный способ решить эту задачу и тренируйтесь на примерах собранных по этой ссылке. Делитесь впечатлениями в комментариях. Удачи!