Добрый день, дорогие друзья!
Решил в этой небольшой статье предложить пошаговый план решения задач на поиск либо точек экстремумов, либо на максимальные и минимальные значения функций. Хотел сделал в формате галереи на Дзене, но что-то не получилось, поэтому пусть будет статья.
Итак, вот он, пошаговый алгоритм:
Давайте разберем одну функцию как пример.
Начинаем с ОДЗ. Если нужно. Про ОДЗ уже делал разбор здесь >>
Следующий шаг - найти производную функции. Важно знать как минимум таблицу производных. Хорошо бы понимать поглубже, но для начала знания таблицы будет достаточно.
Производная от "икса" - это единичка, а от натурального логарифма - это "один делить на икс". Далее приравниваем к нулю:
Итак, корень уравнения - это Х = 1. Но нам важно проверить, будет ли он минимумом, или максимумом. Для этого - следующий шаг:
Если производная отрицательна, значит сама функция убывает, если производная положительна, то функция растет. Если же производная в точке Х=1 меняет знак с минуса на плюс, следовательно функция убывала, а с этой точки начался рост, то есть это точка минимума.
Определив это, подставляем полученное значение в изначальную функцию:
Итак, минимум функции - это "единичка". И еще несколько важных моментов:
Еще один момент по поводу именно этой функции, которая была в примере. Точка Х=0 является точкой смены знака, поэтому мы ее используем в методе интервалов. Но также это "запрещенная точка", поскольку пока нам "на ноль делить нельзя", верно? В реальности подобные точки дают нам понимание о том, что здесь у функции так называемая "ассимптота". То есть левее этой точки функция улетает в "плюс бесконечность" вверх, а правее этой точки она убывает также из "плюс бесконечности" вниз. Но как такового "максимума" в точке нет. О подобных тонкостях анализа функций мы еще поговорим в статьях и в видео.
То, что я на последнем слайде написал про интересные случаи, когда есть точки, в которых производная обращается в ноль, но это не максимум, мы тоже разберем в отдельной статье позже. Такова, например, функция у = sinX + X. Можете попробовать сами ее поисследовать. Подобные примеры в ЕГЭ в 12-й задаче встречаются редко, но понимать их также важно.
Пожалуй, на этом все. Если есть вопросы, пишите! И до встречи в новых заметках и роликах.