В книге «Задачи на смекалку» (И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин, "Просвещение") раздел Игры с пентамино начинается так.
«Фигуры домино, тримино, тетрамино, пентамино составляют из двух, трёх, четырёх, пяти квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом. Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру домино (рис. 1).
Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино, приставляя к ней различными способами ещё один квадрат. Получится только две фигуры» (рис. 2).
А дальше идут задачи, в которых предлагается составить все фигуры тетрамино, пентамино. Нетрудно проверить, что первых фигур 5, вторых — 12.
С фигурами пентамино связана замечательная головоломка. Из 12 различных фигур пентамино требуется сложить прямоугольник 6х10. Этой головоломкой я занимаюсь время от времени с середины 80-х годов, когда мне её подарил мой ученик 5 или 6 класса Игорь Пак, теперь он профессор математики за рубежом.
Вот изображение первого решения (оно было на крышке головоломки). Его я взял за основу для нумерации фигур пентамино (рис. 3). Номера расставлены при движении слева направо и сверху вниз.
Чтобы избежать повторов из-за симметричных решений, полученных осевой симметрией относительно двух осей симметрии прямоугольника, договоримся из четырёх возможных симметричных решений брать то, у которого номер фигуры, стоящей в левом верхнем углу — наименьший.
На странице Пентамино размещено 2182 решения из 2339 возможных. Осталось найти 157 решений. Вы можете поучаствовать в поиске оставшихся решений, в случае успеха мы разместим найденные вами решения с указанием вашей фамилии. Можно писать по адресу: avshevkin@mail.ru .
С этой головоломкой связана замечательная исследовательская работа пятиклассников ФМШ 2007 в 2011/12 учебном году, о которой можно почитать здесь: Решения пентамино ищут пятиклассники
Сегодня рассмотрим две задачи из этой книги.
217*. Развёртка куба состоит из шести квадратов — её можно получить, прикладывая шестой квадрат к какому-либо квадрату фигуры пентамино. Например, из фигуры 1 пентамино можно получить только 4 различные развёртки куба (рис. 4).
а) Из каких фигур пентамино точно нельзя получить развёртку куба описанным способом?
б) Определите точное число развёрток куба.
263*. Саша составил задачу для младшего брата: из пяти различных фигур тетрамино требуется сложить прямоугольник 4х5 (рис. 5). Да вот беда! Саша сам не может решить свою задачу. Можно ли осуществить требуемое? Если можно, то покажите, как; если нет, то объясните почему.