Площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности

Площадь треугольника можно найти несколькими способами, мы рассмотрим пока только один из них - через полупериметр и радиус вписанной окружности.

S = p • r - формула площади треугольника ( S - площадь, p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности). Докажем?

Рис. 1. Произвольный ∆ABC

Возьмём произвольный треугольник и впишем в него окружность.

Рис. Вписанная в треугольник окружность

Окружность должна касаться всех сторон треугольника, у нас это точки E, F и H.

Рис. 3. Центр вписанной окружности

Центр вписанной окружности треугольника - точка пересечения биссектрис.

OB, OA и OC - биссектрисы треугольника ∆ABC

Рис. 4. Проведём к точкам касания радиусы

Радиусы проведены к точкам касания, а значит, по свойству касательной и радиуса проведённого к точке касания, образуют прямые углы.

Рис. 5. Выделим необходимые треугольники

Рассмотрим получившиеся треугольники. Сумма их площадей - площадь треугольника ∆ABC (по свойству площадей фигур).

Рис. 6

Площадь каждого из треугольников можно найти через высоту и сторону, к которой эта высота проведена.

Рис. 7. Получившееся выражение и равные в нём отрезки

Заменим различные обозначения радиуса вписанной окружности на одно, например OH.

Рис. 8. Вводим новое значение - полупериметр

p - полупериметр, т.е. половина периметра треугольника. И заменим:

Рис. 9. Вводим ещё одно значение - r

Итоговая формула площади треугольника:

Рис. 10. Площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности

Через эту формулу находят:

1. Площадь;
2. Полупериметр;
3. Периметр;
4. Радиус вписанной окружности;
5. и иногда стороны.

Но чаще всего - радиус вписанной окружности.

Наблюдение

Рис. 11. Касательные к окружности

Если мы отметим касательные к окружности, то при каждой вершине будет две равных по длине касательных, пары которых условно возьмём за x, y и z.

И заметим что полупериметр будет выглядеть следующим образом:

Рис. 12

Ожидаемо (раз у нас каждой касательной по паре), полупериметр равен суме отрезков касательных, взятых по одной от каждой вершины.

Но это не всё:

Рис. 13. Суммы касательных

Сумма любы двух касательных из получившейся (на Рис. 12) формулы - сторона исходного треугольника.

p = AB + z

p = BC + y

p = AC + x

Последнее мы будем применять в решениях. Пока всё. Удачи!