Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, A₁ и D₁.
б) Найдите угол между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁
Решение :
а) Для начала соединим точки, лежащие в одной плоскости:
B и A₁ ; A₁ и D₁.
Вспомним, что две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым → A₁B || D₁C
И, наконец, соединим точки С и В.
Сечение построено.
б) Построим сечение куба плоскостью BA₁D₁: для этого просто соединим точки A₁, B и С₁.
Плоскости ВА₁С₁ и ВА₁D₁ пересекаются по прямой A₁B.
Угол между плоскостями - это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведёнными в этих плоскостях.
Опустим перпендикуляр в плоскости BA₁C₁ из точки C₁ на прямую BA₁ : C₁H ⟂ BA₁
Пусть а - сторона куба, тогда A₁C₁ = C₁B = CD₁ = BA₁ = a√2 → △ BA₁C₁ - равносторонний треугольник → HA₁ = HB
Опустим перпендикуляр в плоскости BA₁D₁ из точки Н на прямую CD₁ : HK ⟂ CD₁ → KD₁ = CD (т.к. HA₁ = HB и A₁B || D₁C)
Отсюда получаем, что угол между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁ - угол C₁HK: ∠ (BA₁C₁; BA₁D₁) = ∠ C₁HK
△ BA₁C₁ :
sin ∠ C₁A₁H = C₁H/A₁C₁ ⇔ sin60° = C₁H/A₁C₁ ⇔ √3/2 = C₁H/(a√2) → C₁H = (a√6)/2
△ C₁D₁C ( равнобедренный прямоугольный треугольник) :
sin ∠ C₁D₁K = C₁K/C₁D₁ ⇔ sin45° = C₁K/C₁D₁ ⇔ √2/2 = C₁K/a → C₁K = (a√2)/2
A₁D₁CB : A₁D₁ = HK = BC = a
Рассмотрим △ С₁HK и запишем для него теорему косинусов:
C₁K² = C₁H² + KH² -2·C₁H·KH·cos ∠ C₁HK
0,5a² = 1,5a² + a² -2·(a√6/2)·a·cos ∠ C₁HK
0,5a² = 1,5a² + a² -a²√6·cos ∠ C₁HK
a²√6·cos ∠ C₁HK = 1,5a² + a² - 0,5a²
a²√6·cos ∠ C₁HK = 2a²
√6·cos ∠ C₁HK = 2
cos ∠ C₁HK = 2/√6
cos ∠ C₁HK = √6/3
⬇
∠ C₁HK = ∠ (BA₁C₁; BA₁D₁) = arccos(√6/3)
Ответ: б) arccos(√6/3)