Есть счастливые кладоискатели, знаете, те, которые в полях ищут серебряные монетки далёких времён и, что удивительно, находят их.
А есть совсем не охотники за призрачным счастьем, просто натыкающиеся на то, чего быть не должно. И это приносит им, с одной стороны, удивление, а с другой - радость.
Я не охотник.
И я "наткнулась" на задачу в материалах для подготовки к ЕГЭ, которой, по моему мнению, там быть не должно.
Если Вы спросите у школьников, слышали ли они что-нибудь о задаче линейного программирования, думаю, ответ будет отрицательным. А вопрос "Умеешь ли ты решать задачи по теме матричные игры?" просто собьёт их с ног. Что говорить о детях, если понятие "седловая точка матрицы" делает лица коллег каменными? И зачем давать задачи по темам, которых нет в программе по математике, а потом пытаться решать эти задачи способами, на мой взгляд, притянутыми?
Задач по теме "Линейное программирование" я нашла несколько в источнике: ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену : профильный уровень / под ред. И.В. Ященко. - Москва: АСТ: Астрель, 2016. - 135, [1] с. - (Государственная итоговая аттестация).
Задачи записаны под номером 17, оцениваются тремя первичными баллами.
Рассмотрим первую, самую "простую" (картинка 2).
"У фермера есть два поля, площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции, Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором - 300 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 4000 руб. за центнер, свёклу - по цене 5000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?"
Почему я отношу эту и другие задачи, о которых речь пойдёт ниже, к заявленной в названии статьи теме?
По следующим причинам.
Линейное программирование - это один из разделов предмета "Математическое программирование", нацеленного на решение задач по некоторой программе действий. В линейном программировании решается задача отыскания экстремума линейной функции нескольких переменных, удовлетворяющих системе ограничений в виде линейных же уравнений и неравенств.
Исследуемая задача с линейной целевой функцией, зависящей от двух переменных, которые удовлетворяют линейным неравенствам, как раз относится к этой теме.
Какими знаниями, не получаемыми в курсе "школьной" математики, должен владеть ученик, чтобы решить эту задачу?
1) Он должен иметь представление о функции двух переменных и о понятиях, с ней связанных: об области допустимых значений переменных, о линии уровня, о частных производных, о градиенте, о направлении роста значений функции.
2) Он должен иметь представление о выпуклых многогранниках и их "угловых" точках, должен уметь решать неравенства с двумя переменными, изображать решения этих неравенств на чертеже (учтите, что линейки на экзамене запрещены почему-то, все пользуются обложкой паспорта для прочерчивания линий).
3) Он должен знать последовательность шагов отыскания оптимального решения задачи линейного программирования.
За всем этим стоит большой объём информации.
Авторов задачи для школьников немного "спасает" то, что переменных в задаче 2, поэтому её можно решить графическим методом.
Я покажу 2 способа решения такой задачи: 1) графический с построением градиента к линии уровня функции; 2) опирающийся на основную теорему теории линейного программирования (именно его я рекомендую применить на экзамене, если, не дай Бог, такая задача попадётся).
Итак, перехожу в свой редактор (см. картинки ниже).
Так задача решается графическим способом.
Решение задачи можно "упростить", если, построив многоугольник решений (множество допустимых планов) задачи, сослаться на терему о максимальном значении целевой функции и сказать, что это значение целевая функция будет принимать в одной из вершин многоугольника. Затем просто вычислить значения функции в каждой вершине многоугольника, сравнить их и выбрать наибольшее значение.
Рассмотрим теперь задачу из этого же источника, относящуюся к теме "Целочисленное программирование", которую тоже можно решить графическим методом.
"На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 40 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А и 15 деталей В. На втором комбинате работает 100 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 деталей А или 5 деталей В.
Оба этих комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна (так написано в книге "нужна") 2 детали А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?"
Почувствовали разницу между задачами?
Итак, привожу мой вариант решения этой задачи (см. картинку 5).
Ни один из полученных мною ответов не совпал с ответами из учебника. Но, думаю, права я.
Хотите попробовать сами решить графическим методом задачу из этой же книги? Дерзайте!
"Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера "люкс" площадью 45 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер "люкс" - 3000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?"
Комментарии приветствуются.
Помните: истина где-то рядом...
На канале царит ДРУЖЕЛЮБНОЕ отношение друг к другу.
И ещё: я очень старалась для Вас.
Уважайте себя. С уважением, автор.