Условие задачи:
Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B.
а) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на срединном перпендикуляре к отрезку AB.
б) Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15
Начинаем с простого построения. Важно, чтобы окружности не казались одинаковыми. Желательно, чтобы одна окружность была меньше другой, так как в условии не говорится о равенстве их радиусов.
Итак, FL - средняя линия трапеции, ее точки F и L лежат на серединах боковых сторон. Нужно доказать, что средняя линия также лежит на срединном перпендикуляре к отрезку АВ, построенном на точках пересечения окружностей.
Чем можно воспользоваться? Тем, что KL и MN являются диаметрами окружностей, а точки F и L - центрами окружностей. Тогда, проведя отрезки FA, FB, LA, LB мы сможем использовать то, что они являются радиусами соответствующих окружностей.
Как следствие, мы имеем равенство треугольников FAL и FBL по трем сторонам. Соответственно, как написано на рисунке, мы имеем равенство соответствующих углов AFO и BFO. Значит, FL - биссектриса углов OFA и OLA одновременно.
А в равнобедренных треугольниках OFA и OLA биссектрисы будут одновременно медианами и высотами.
Отсюда следует, что FL - срединный перпендикуляр к отрезку АВ, что и требовалось доказать.
Найдем длину отрезка АВ (пункт "б" задания).
Поскольку нам даны отрезки MN и KL, а это диаметры, следовательно радиусы равны соответственно 14 и 13.
Из треугольника FAL по теореме косинусов найдем косинус угла "альфа" или AFO. От равен 33/65. Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, найдем синус этого угла и получим значение 56/65.
Но синус "альфа" это отношение АО к FA, тогда из пропорции найдем, что АО равно 11,2.
Поскольку мы доказали в пункте "а", что О - середина отрезка АВ, то весь отрезок АВ в 2 раза больше АО и равен 22,4.
ОТВЕТ: АВ = 22,4
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Есть также другой вариант расчета - можно было из формулы Герона найти площадь треугольника FAL, а затем найти ее как половину произведения основания FL на высоту АО. И отсюда можно вычислить АО.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Дорогие друзья, делитесь вашими идеями и вопросами, ведь у каждой задачи есть множество способов решения.
Спасибо, что дочитали до конца!
