Задача
Разложить x^5+1 на множители так, чтобы
- каждый множитель был многочленом с вещественными коэффициентами
- ни один из этих множителей не мог быть разложен далее с соблюдением этих двух правил
Такая задача и подобная ей могли, и возможно, реально предлагались на # егэ по математике
Обсуждение задачи
Рассмотрим такое разложение на более простых многочленах. Например, второй или третьей степени.
Пример 1
x^2-3*x+2 = (x-1)*(x-2)
Здесь корни многочлена вещественные (чтобы найти их, можно применить # формулы виета ) и поэтому разложение состоит из двух линейных сомножителей.
Пример 2
x^2+x+1 = x^2+x+1
У этого многочлена вещественных корней ( #дискриминант равен -3) нет и поэтому разложить его в произведение более простых скобок нельзя.
Пример 3
x^3+1=(x+1)*(...)
Это многочлен третьей степени, у которого, очевидно x=1 - один из корней. Поэтому он разлагается на множители, один из которых x+1. Чтобы узнать, что скрывается за многоточием, надо x^3+1 разделить на x+1. Мы заранее знаем, что деление будет без остатка. Процесс деления "уголком" выглядит так:
x^3+1 = (x+1)*(x^2+...) = x^3 + x^2 + ...
x^3+1 = (x+1)*(x^2-x+...) = x^3 - x + ...
x^3+1 = (x+1)*(x^2-x+1)
Здесь первым действием мы во второй скобке пишем x^2, т.к. нам надо, чтобы после умножения на x (из первой скобки) получилось x^3. В конце первого действия справа получается "лишний" #моном x^2.
Вторым действием мы этот лишний моном убираем, более полно раскрывая многоточие во второй скобке - вычитаем x. Теперь, в конце второго действия, моном x^2 исчез, но появился следующий "лишний" моном, уже меньшей степени, -x.
Последним действием мы убираем и этот лишний моном, раскрывая полностью многоточие во второй скобке - добавляем константу 1.
Вторая скобка - многочлен второго порядка. Мы можем посчитать #дискриминант , равный -3 (как и в примере 2 - но это случайное совпадение). Поскольку он отрицательный, оба корня - комплексные. Значит, дальнейшее разложение на множители с вещественными коэффициентами невозможно.
Решение задачи
Способ 1
Один из корней многочлена x^5+1 мы легко угадываем - это x=-1 . Значит, это многочлен нацело делится на скобку (x+1). Деление уголком
x^5+1 = (x+1)*(x^4+...) = x^5 + x^4 + ...
x^5+1 = (x+1)*(x^4-x^3+...) = x^5 - x^3 + ...
x^5+1 = (x+1)*(x^4-x^3+x^2+...) = x^5+x^2+...
x^5+1 = (x+1)*(x^4-x^3+x^2-x+...) = x^5+x^2-x+...
x^5+1 = (x+1)*(x^4-x^3+x^2-x+1)
дает нам вторую скобку x^4-x^3+x^2-x+1.
Тяжелый случай - здесь многочлен четвертой степени. Существуют, конечно, формулы, по которым можно эти корни точно вычислить, но они так громоздки..
Спасение - в симметрии коэффициентов. Это #возвратное уравнение - список коэффициентов [1,-1,1,-1,1] симметричен - он совпадает с собой, если читать его справа налево ( #палиндром ).
Для возвратных уравнений есть своя пошаговая процедура упрощения
x^4-x^3+x^2-x+1=x^2*(x^2-x+1-1/x+1/x^2) x^4-x^3+x^2-x+1=x^2*(x^2+1/x^2-(x+1/x)+1) x^4-x^3+x^2-x+1=x^2*((x+1/x)^2-(x+1/x)-1) x^4-x^3+x^2-x+1=x^2*(t^2-t-1), t=x+1/x
Мы привели выражение к произведению двух скобок. Первая - моном x^2, вторая квадратичная функция t^2-t-1 от вспомогательной переменной t=x+1/x. Ну, с квадратными уравнениями мы управляться умеем. Привыкли руки к топорам. Многочлен t^2-t-1 имеет корни t1=(1-sqrt(5))/2, t2=(1+sqrt(5))/2 .
Значит,
x^5+1=(x+1)*x^2*(t-t1)*(t-t2)=...
x^5+1=(x+1)*x^2*(x+1/x-t1)*(x+1/x-t2)=...
x^5+1=(x+1)*x^2*(x^2+1-t1*x)*(x^2+1-t2*x)=...
x^5+1=(x+1)*(x^2-t1*x+1)*(x^2-t2*x+1)
Можно ли полученные две скобки (с t1 и t2 ) разложить далее? Нет! Легко проверить, что дискриминанты в этих скобках, равные D1=t1^2-4, D2=t2^2-4 , оба отрицательные. Проверим дискриминант первой скобки:
t1=(1-sqrt(5))/2<1/2<2
t1=(1-sqrt(5))/2>(1-sqrt(9))/2=-1>-2
|t1|<2 => D1=t1^2-4<0
аналогично проверяется отрицательность дискриминанта второй скобки.
Таким образом, решением исходной задачи является разложение на три множителя
x^5+1=(x+1)*(x^2-(1-sqrt(5)*x/2+1)*(x^2-(1+sqrt(5))*x/2+1)
Способ 2
Второй способ основан на другом свойстве симметрии (и, кстати, да, уравнение x^5+1 также является возвратным) - корни уравнения с вещественными коэффициентами
- либо вещественные числа
- либо комплексные, но попарно сопряженные
Комплексные #попарно сопряженные числа - это такие два комплексных числа, у которых вещественные части одинаковы, а мнимые - противоположны по знаку.
В нашем случае все корни могут быть описаны единой формулой
x[k]=-exp(2*Pi*I*k/5), k=-2,-1,0,1,2,
Pi - число Пи, I - мнимая единица (I^2=-1)
- exp(2*Pi*I*k/5) = -cos(2*Pi*k/5)-I*sin(2*Pi*k/5)
Среди этих корней средний x[0]=-1 - вещественный, а крайние - попарно сопряжены: x[-2] сопряжен с x[2] , x[-1] - с x[1] .
Разложение многочлена x^5+1 с учетом обозначения корней имеет вид:
x^5+1=(x+1)*
(x-x[-2])*(x-x[2])*
(x-x[-1])*(x-x[1])
x^5+1=(x+1)*
(x^2-(x[-2]+x[2])*x+x[-2]*x[2])*
(x^2-(x[-1]+x[1])*x+x[-1]*x[1])
x^5+1=(x+1)*
(x^2+2*cos(4*Pi/5)*x+1)*
(x^2+2* cos(2*Pi/5) *x+1)
Решения по первому и второму способу представлены в разной форме. Одинаковы ли они? Да (проверка выполнена в программе #maple )
simplify(2*cos((2*Pi)/5) + (1 - sqrt(5))/2);
0
simplify(2*cos((4*Pi)/5) + (1 + sqrt(5))/2);
0
Более сложная задача (на десерт)
А не замахнуться ли нам, батенька, на Вильяма, понимаешь-ли, Шекспира?
Задача
Разложить на множители с вещественными коэффициентами многочлен x^7+1.
Способ 1
Надо делением без остатка многочлена x^7+1 на двухчлен x+1 получить выражение
x^7+1=(x+1)*x^3*(x^3+1/x^3-x^2-1/x^2+x+1/x-1)
затем ввести вспомогательную переменную t=x+1/x и переписать выражение так
x^7+1=(x+1)*x^3*(t^3-t^2-2*t+1)
(коэффициенты во второй скобке получаем, упрощая возвратное уравнение x^3+1/x^3-x^2-1/x^2+x+1/x-1 по приведенному выше образцу).
Остается найти три корня t1, t2, t3 уравнения t^3-t^2-2*t+1 и тогда разложение примет вид
x^7+1=(x+1)*(x^2-t1*x+1)*(x^2-t3*x+1)*(x^2-t3*x+1)
Если попросить Maple посчитать эти корни, он не откажет
sort([evalf(t1), evalf(t2), evalf(t3)]);
[-1.246979604, 0.4450418679, 1.801937736]
Способ 2
По второму способу мы группируем корни
x[k] = -exp((2*Pi)*I*k/7), k = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3;
попарно. Получается три пары, это приводит к следующему разложению
x^7+1=(x+1)*
(x^2+2*cos(6*Pi/7)+1)*
(x^2+2*cos(4*Pi/7)+1)*
(x^2+2*cos(2*Pi/7)+1)
Проверим совпадение выражений
sort(evalf([-2*cos((6*Pi)/7), -2*cos((4*Pi)/7), -2*cos((2*Pi)/7)]));
[-1.246979604, 0.4450418670, 1.801937736]
Два способа дали одинаковый ответ.
Счастливого серфинга!
Подписаться на канал Математика и программирование
Вокруг ЕГЭ: разложить x^5+1 на множители с вещественными коэффициентами
Web Scraping: преобразовать иерархическую структуру в табличную
Web Scraping: преобразовать табличную структуру в иерархическую
Web Scraping: всероссийская перепись 1917
Как я поженил Лагранжа и сигмоиду
Интерполяция функций и правило Лопиталя
Подписаться на канал Новости из царской России
Вокруг ЕГЭ: разложить x^5+1 на множители с вещественными коэффициентами
Web Scraping: преобразовать иерархическую структуру в табличную
Web Scraping: преобразовать табличную структуру в иерархическую
Web Scraping: всероссийская перепись 1917
Как я поженил Лагранжа и сигмоиду
Оглавление статей канала "Новости из царской России"
YouTube "Новости из царской России"