Почему я сейчас пишу эту статью?
Потому, что, наблюдая за детьми, когда они сражаются сами с собой, вычисляя дискриминант с многозначными числовыми коэффициентами, мне становится их жалко. Они знают лишь один способ решения квадратного уравнения - по формулам (см. картинку 1 ниже). В своей статье я расскажу ещё о девяти способах нахождения его корней.
Хитом среди способов решения квадратного уравнения (и он занимает первое место в нашем списке) становится способ решения квадратного уравнения по готовым формулам.
Но сможете ли Вы с лёгкостью решить этим способом, например, такие уравнения, как на картинке 2 (см. ниже)?
Удивительное рядом: применяя формулы для отыскания корней квадратного уравнения, ученики не могут объяснить, откуда они берутся. Я не стану в этой статье их выводить, а для пытливых посоветую обратиться к учебникам и хотя бы один раз прочитать теоретический материал. Но если всё же кому-то понадобится моя помощь, то вывод формул могу прикрепить в комментариях.
Итак, какой же способ решения квадратного уравнения стоит на втором месте по частоте его применения? Нет, не так, по остаточным воспоминаниям о нём?
Второе место присуждается способу отыскания корней квадратного уравнения по обратной теореме Виета (см. картинку 3).
Замечу, что большинству школьников он кажется слишком "мудрёным", поэтому его используют реже, чем первый (см. картинку 4).
Третьим по популярности способом решения квадратного уравнения является метод разложения на множители. Он успешно применяется в неполных квадратных уравнениях, когда b=0 или с=0 (картинки 5,6). Интересен следующий факт: в "решебниках" из интернета часто используется именно третий способ, причём даже тогда, когда уравнение содержит полный набор слагаемых.
Следующий способ решения квадратного уравнения, занимающий четвёртую позицию в списке, - это метод извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения. К сожалению, применяя его, ученики часто допускают ошибки. Думаю, это происходит потому, что они не знают свойств квадратного корня, модуля и свойств неравенств. На картинках 7 и 8 я покажу, для каких квадратных уравнений его стоит применять, и как это делать правильно.
Пятая строчка нашего списка отдаётся способу решения квадратного уравнения, имеющего чётное значение коэффициента b (картинка 9). Я считаю этот способ решения весьма эффективным, особенно в тех случаях, когда нельзя применить способы 6 и 7 (о них будет рассказано ниже), а значения коэффициентов уравнения представляются многозначными числами . При нахождении корней этим способом мы извлекаем двойную выгоду: 1) находим дискриминант в 4 раза меньший, чем "обычный", 2) нам не приходится сначала выносить из-под корня числа, затем раскладывать на множители числитель и "сокращать" дробь.
Шестой и седьмой способы решения квадратного уравнения опираются на следствия к обратной теореме Виета.
Назову шестым способ решения квадратного уравнения с нулевым значением суммы всех его коэффициентов (картинка 11).
На седьмом месте находится способ решения квадратного уравнения с коэффициентом b, равным сумме a и с (картинка 12).
Восьмое место отдаётся способу решения квадратного уравнения методом подбора. Этот не очень популярный метод оказывается весьма полезным, если ученик может делить многочлены "уголком" на линейные многочлены. Метод решения опирается на следствие к теореме Безу (см. картинку 13). Первый корень находится подбором, затем многочлен делится "уголком" на разность (х-найденный корень).
В каких задачах можно применять восьмой способ решения? Показываю на картинке 14.
Отдадим девятое место одному из самых трудных для понимания способов решения квадратного уравнения - методу выделения полного квадрата. Как он работает, покажу на картинке 15.
Топ-10 способов решения квадратного уравнения завершает самый не популярный способ его решения - графический. Я не могла не упомянуть о нём, так как он часто используется при решении задач с параметрами на экзаменах и в 9-ом и в 11-ом классе. Рассмотрим его на примере.
Надеюсь, что статья оказалась Вам полезной.
С уважением, автор.