Продолжение. Другие ст. см. здесь:
1) Об эффективности использования математики в физике
2) (эта статья) Вывод формул Лоренца преобразования координат физического пространства
3) Эфиродинамика. Выводим преобразования Тангерлини
4) В ыводим преобразования Евклидова пространства
В самом конце XIX в. в физике было обнаружено фундаментальное противоречие. Известный опыт Майкельсона, при котором измерялась скорость света (составляющая около в направлении движения Земли по ее орбите вокруг Солнца (скорость Земли около и в перпендикулярном к этому направлении, с неопровержимостью доказал, что все тела природы при своем движении, хотя бы в пустоте, как бы сокращаются в направлении движения. Теорию этого сокращения подробно исследовал голландский физик Лоренц. Оказалось, что это сокращение тем больше, чем скорость движущегося тела ближе к скорости света, в пустоте, причем при скорости, равной скорости света, сокращение становится бесконечным. Лоренц выписал формулы этого сокращения.
Существует множество способов получения преобразований Лоренца с использованием различных физических принципов, начиная с уравнений Максвелла до постулатов специальной теории относительности Эйнштейна и математических инструментов, начиная с элементарной алгебры и гиперболических функций , к линейной алгебре и теории групп.
В этой статье представлен способ, базирующийся на группе общих преобразований координат векторного пространства, примененных к некоторой ее подгруппе, которая называется ортонормированной.
Все мы представляем преобразования координат галилеева пространства (1):
результатом которых является закон сложения скоростей галилеева пространства классической механики:
v'' = v' +v''.( 2 )
Обобщенной альтернативой галилеевым преобразованиям координаты (1) является общее линейное преобразование координат ПВ (3):
Обратными к ней преобразованиями являются следующие (4):
Зависимость α, β, γ, и λ предполагается от направления скорости v новой системы отсчета: α( v ), β ( v ), γ( v ) и λ ( v ). В физических приложениях размерность параметра λ здесь выражается в единицах, обратных скорости – в [с/м] (секунды на метр), γ – в единице скорости – [м/с], параметры α и β безразмерны.
Преобразования (3) в таком виде не несут какой-либо полезной информации о ПВ: это – просто набор возможных линейных и преобразований координат абстрактного математического пространства без какого-либо полезного физического смысла. Для придания смысла необходимо определить ее материальный физический или абстрактный геометрический смысл или интерпретацию. Этот смысл кроется в ее физических/геометрических понятиях времени и расстояний[1] .
Группа общих ортонормированных преобразований координат
Среди всех преобразований имеется группа ортонормированных преобразований координат . В таком случае уравнения преобразования координат общего типа пространств (3) первая строка будет определять условие синхронизации часов в новой системе координат и относительную скорость ее хода, определяя этим слой одновременности, а вторая – перемещение начала координат во времени и ее новую разметку, через которую определяются расстояния. При этом подпространство t ' = const для каждой из ИСО будет подпространством одновременных событий. Именно в этой записи, а не в записи t = const – эта запись верна в галилеевом пространстве, но никак не в общем случае.
Для уравнений (3) это означает выполнение некоторых условий. Из линейной алгебры известно, что параметры группы общих ортонормированных преобразований координат пространств (3 ) обладают следующими свойствами (5):
Это уравнение говорит о том, что определитель матрицы преобразований координат должен быть равен единице. Дополнительные свойства относятся к строкам и столбцам матрицы преобразований (6):
Уравнения первых двух строк являются квадратами соответствующих строк и столбцов. Они должны быть равны единице, что говорит о том, что координаты как исходных, так и преобразованных осей координат будут соответствовать нашим линейкам. Третья строка есть перекрестное произведение первых строк или столбцов друг на друга. Ее равенство означает, что координатные оси будут перпендикулярны друг другу.
Еще одно условие говорит о том, что след матрицы должен быть равен нулю. Это все общие свойства тензоров. Из них следует, что (7)
Несмотря на большое количество уравнений (два) и ее параметров (четыре), они не могут дать однозначного решения для параметров уравнений группы ортонормированных преобразований координат и их зависимость от скорости ИСО. Из них всего лишь следует то, что a и b , а также l и g должны быть равны друг другу. Но есть общий вывод, который можно получить из этих свойств и решений: знание любого из параметров a , b , l и g полностью определяет все остальные параметры матрицы преобразований, и они все зависят от одного этого единственного параметра. Для примера рассмотрим следующую простую зависимость, что параметр l нам известен. Тогда, в соответствии с приведенными свойствами, ( 3 ) имеет решение (8):
И общее уравнение для ортонормированных преобразований координат будет следующим (9):
Можно проверить, что эти преобразования ортогональны и нормированы при любом значении параметра l .
Рассмотрим, что за величина сохраняется при общих ортонормированных преобразованиях координат (3 ) . Для этого в качестве претендента рассмотрим изменение значения параметра "расстояния" Δs (10, 11):
Используя уравнения (3 ) в общем виде и свойства (5 ) … ( 11 ) , найдем эту величину через начальные не штрихованные координаты (12, 13):
В результате получили, что при общих ортонормированных преобразованиях координат (3 ) при произвольных, но согласованных значениях a , b , l и g 4-мерное значение "расстояние" D s сохраняет свое значение и формульное выражение для нее неизменным. Это 4-мерное полностью соответствует сохраняющемуся "интервалу" СТО А.Эйнштейна. Через нее определяется наводимая на пространство-время метрика (13 ) . Таким образом, делаем
Вывод: пространство с ортонормированными преобразованиями (3 ) безусловно является релятивистским пространством, в котором соблюдаются принципы относительности взаимосвязи пространства и времени.
Только у нас не имеется зависимости от скорости ИСО – во всех предыдущих уравнениях она не применялась. Введем эту зависимость. Или "офизичим" абстрактный вывод математики.
2. Зависимость параметров от скорости ИСО v
Здесь рассмотрим физическую интерпретацию преобразований (3 ) . Исходно в математической абстракции преобразования (3 ) не имеют связи с физикой, хотя физика пользуется понятиями координаты пространства и времени и ее ортонормированных преобразований. Для физики два свободных параметра a и g ортонормированных преобразований необходимо связать с преобразованиями координат из одного ИСО в другое, движущееся со скоростью v относительно первого. И поэтому параметры a и g с необходимостью должны быть связаны с этой скоростью ИСО. Прямой связи между этими параметрами и скоростью не имеется. Но есть подсказка: начало координат новой системы координат (ИСО) в старой должны находиться на линии x = vt . Это – уравнение прямой движения начала координат движущейся ИСО. А это возможно при соблюдении следующего условия (14, 15):
Это – условие для этой самой линии. И это – физическое условие к ортонормированным преобразованиям координат (3 ) . Оно имеет решение. Т.к. β² - γ² = 1 , то (16)
Подставляя это значение в (2), имеем следующее окончательное решение для ортонормированных преобразований координат в физических приложениях для произвольных допустимых скоростей (17):
Это, как видно, преобразования Лоренца. При бесконечно малых преобразованиях координат v ® 0 преобразования (3) с точностью до бесконечно малых второго порядка от скорости v ИСО, должны быть записаны в виде (18):
Если решить это дифференциальное уравнение, также получится решение (17 ) .
На практике, с использованием реальных эталонов длины, времени и скорости распространения информации, уравнения преобразования координат имеют следующий вид (19):
С т.з. этих уравнений синхронизация времени осуществляется сигналами, движущимися со скоростью c [ед.дл./ед.вр.]. В реальности эта скорость приблизительно равна 300 000 000 м/с. С т.з. уравнений (17 ) синхронизация времени осуществляется сигналами, движущимися со фундаментальной скоростью 1 [ед.дл./ед.вр.].
Вы могли заметить, что (19 ) не соответствует условию ортонормированности (6 ) . Причина этого заключается в том, что эталоны, которые используются для записи этих уравнений преобразования координат, не являются нормированными и не дают определить согласованные друг с другом волновые координаты пространства.
Продолжение. Другие ст. см. здесь:
1) Об эффективности использования математики в физике
2) (эта статья) Вывод формул Лоренца преобразования координат физического пространства
3) Эфиродинамика. Выводим преобразования Тангерлини
4) В ыводим преобразования Евклидова пространства
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк" и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!