Для меня задачи на построение одни из самых захватывающих в геометрии. На всякий случай напомню, что задачи на построение содержат в условии: "С помощью циркуля и линейки постройте...". Обычно эти задачи не вызывают восторга у учащихся. Но для людей увлеченных геометрией они представляют особый интерес. Во-первых, потому что связывают с истоками геометрии, а во-вторых, позволяют лучше понять, как устроена эта наука.
Сегодня предлагаю посмотреть как решаются базовые задачи на построение (середина отрезка, биссектриса угла) в геометрии Лобачевского с использованием модели Пуанкаре в верхней полуплоскости.
Для начала нам понадобятся некоторые базовые понятия.
1. Под равенством фигур будем понимать их конгруэнтность, т.е. существование некоего движения, которое переводит одну фигуру в другую.
2. Любое движение плоскости может быть представлено в виде композиции осевых симметрий.
3. Осевой симметрией плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре относительно евклидовой полуокружности будет инверсия относительно окружности на которой лежит эта полуокружность.
4. Осевой симметрией плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре относительно евклидова перпендикуляра будет осевая симметрия в евклидовом смысле.
Пожалуй, теперь можем приступать к построению. Начнём с середины отрезка. Если концы отрезка лежат на евклидовом перпендикуляре, построение середины выполняется тривиальным образом, как в евклидовой геометрии.
Поэтому будем рассматривать случай с полуокружностью.
Середина отрезка CD это точка, которая лежит между концами отрезка и делит его на два равных "конгруэнтных" отрезка. Значит нам нужно движение, при котором один конец отрезка переходит в другой. Следовательно, нужно построить окружность с центром на абсолюте, инверсия относительно которой переведёт один конец отрезка в другой, т.е. необходимо найти такую точку О, чтобы выполнялось равенство OC · OD = r². Чтобы найти такую точку, воспользуемся теоремой: квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.
Все теоретические данные мы выяснили, можем перейти к построению.
1) Продлим отрезок СD до пересечения с абсолютом. Обозначим полученную точку О.
2) Через точку О проведем касательную к прямой c (полуокружности в евклидовом смысле). E - точка касания.
3) Построим полуокружность с центром в точке О и радиусом ОЕ. Она будет осью симметрии в неевклидовом смысле для точек С и D. Таким образом точка E - середина отрезка CD.
Перейдем к построению биссектрисы углы. Угол между двумя полуокружностями определяется как угол между касательными. А значит мы можем построить биссектрису угла между касательными, а затем провести полуокружность, которая будет касаться построенной прямой в вершине угла. Для этого воспользуемся теоремой о радиусе проведенном в точку касания.
1) Проведем касательные к полуокружностям через вершину угла.
2) Построим биссектрису угла между касательными.
3) Проведем полуокружность, которая касается биссектрисы в точке F. Эта полуокружность и будет искомой биссектрисой угла в смысле геометрии Лобачевского.
Я воздержалась от подробного описания построений биссектрисы угла и касательной к окружности в евклидовом смысле, чтобы не сильно затруднять чтение. Надеюсь, вы поверите мне на слово, что эти построения реализуются с использованием только циркуля и линейки.