Приветствую любителей математики! А также рад всем, кому интересно разбираться в непростой, но важной теме логарифмических неравенств.
Итак, наше задание:
Первым делом найдем область допустимых значений аргумента. Как вы помните, подлогарифмическое выражение всегда должно быть больше нуля, а основание логарифма также должно быть больше нуля, но, кроме этого, еще и не должно быть равным единице.
Поскольку в левой части неравенства мы видим и логарифм по переменному основанию, и умножение его на переменную, самым эффективным путем решения будет метод рационализации. Если интересно об этом методе узнать подробнее, пишите, пожалуйста, в комментариях, обязательно разберу его и в текстовом формате, и в формате видео.
Итак, метод рационализации утверждает, что исходное неравенство эквивалентно следующему неравенству, состоящему из множителей (с учетом ОДЗ, но с ним мы решение объединим позже):
Решая его по методу интервалов, в итоге получаем (без учета ОДЗ):
Если есть вопросы, пишите, пожалуйста, в комментариях.
Далее накладываем на эти промежутки картину ОДЗ:
И в результате получаем окончательные промежутки решения:
Итак, ответ к данному заданию будет следующий:
Замечу, что при решении неравенств в целом, и при решении логарифмических неравенство в особенности, крайне важно определить ОДЗ и проверить итоговый ответ на допустимые значения.
Если остаются вопросы, пожалуйста, пишите в комментариях. Если предлагаете другие варианты решения, пишите, буду рад!
Замечательных вам успехов на экзаменах! И до встречи в новых статьях и видеоуроках!