Теперь пришло время связать высоту музыкального звука с его частотой.
Музыка должна восприниматься человеческим ухом, которое имеет довольно ограниченный частотный диапазон, да еще этот диапазон у разных людей разный и даже у одного человека он может меняться из-за различных факторов, например старости.
Среднестатистический человек имеет частотный диапазон восприятия звука от 16 до 20 000 Гц. По причине, что далеко не все люди соответствуют среднестатистическим стандартам, а слушать музыку хотят все, частотный диапазон в музыкальных произведения ограничен и лежит в пределах от 27,5 до 4186,01 Гц . Впрочем, иногда музыканты используют звуки с частотами, лежащими вне пределов этого диапазона для придания особых свойств звучания. Даже инфразвуковые колебания применяются для подчеркивания драматизма некоторых музыкальных произведений, например, в соундтреках фильмов ужасов.
Самый большой частотный диапазон музыкальных звуков из хорошо известных музыкальных произведений имеет фортепьяно, оно же рояль, если струны натянуты горизонтально полу, оно же пианино, если струны натянуты перпендикулярно полу. Частотный диапазон лучших 88-клавишных инструментов лежит от 27,5 Гц (нота ЛЯ субконтроктавы) до 4186,01 Гц (нота ДО пятой октавы), т.е. занимает весь диапазон музыкальных звуков.
В любой мелодии выделяют один из звуков, называемый тоникой или главным тоном, вокруг которого группируются остальные звуки. Организующая роль тоники хорошо понятна, если мелодия начинает и заканчивается этим звуком.
Если все ноты мелодии отсортировать по высоте от самой низкой до самой высокой по возрастанию, то полученная последовательность образует звукоряд. Каждый член этой последовательности называется его ступенью. Первый член последовательности является самой низкой ступенью и называется главным тоном мелодии. Он обозначается римской цифрой I . Последующие ступени звукоряда также обозначаются римскими цифрами в порядке очередности.
Музыканты для своего удобства выработали, как они считают простую и стройную систему расположения звуков по ступеням от самых низких до самых высоких, построенную на основном звукоряде. Ступенями основного звукоряда являются ноты расположенные в виде гаммы, которую можно изобразить в виде лесенки, как показано на рисунке 1. Высота ступенек h этой лесенки соответствует логарифму по основанию 2 от частотного интервала между нотами:
h=log2(v2)-log2(v1)=log2(v2/v1),
где v 1,v 2 – частоты соседних нот, выраженные в Гц, v 2>v 1.
Почти все высоты ступенек одинаковы и равны примерно 0,167, если частоту выразить в герцах. Для двух нот - МИ и ФА высота ступеньки вполовину меньше и равна 0,083.
Расстояние между звуками, равное 0,167, составляют тон. Тоны образуются следующими ступенями:
ДО-РЕ, РЕ-МИ, ФА-СОЛЬ, СОЛЬ-ЛЯ, ЛЯ-СИ, СИ-ДО.
Вместе с тонами также широко применяются полутоны, которые образуются следующими ступенями
МИ-ФА, СИ-ДО.
Как уже говорилось раньше, основной звукоряд общеупотребительной музыкальной системы состоит из семи нот-ступеней. Один основной звукоряд образует октаву. Всего существует девять октав, звукоряды которых охватывают весь частотный диапазон музыкальных звуков. Одну и ту же мелодию можно исполнять в разных октавах без потери сходства мелодичного звучания.
Восьмая ступень (октава) по звучанию совпадает с первой, поэтому она фактически является первой ступенью следующего октавного звукоряда. Нетрудно понять, что это нота ДО. Название октава произошло от латинского слова octo (окто) – восемь.
В общепринятой музыкальной системе используют девять октав, обозначения которых, приведены в таблице 1.
Помимо тонов, в музыке широко применяются и полутона. Два из них между нотами МИ и ФА, и СИ-ДО, мы уже упоминали. Другие полутона образуются с помощью знаков альтерации диезов (#) и бемолей (b ). Соответствующие им клавиши фортепьяно окрашены в черный цвет.
В таблице 2 приведены обозначения ступеней в одной октаве.
Теоретические частоты всех ступеней музыкального диапазона определяются по формуле
V [q ][k ]=V 0*2^(q +(k -10)/12),
где V 0 – частота ноты ЛЯ субконтроктавы, V 0=27,5 Гц; q - номер октавы в английской нотации, q =0,…,8; k - номер ступени в октаве, для октавы q =0 (Субконтроктава) k =10,…12 (всего 3 ступени), для октавы q =8 (Пятая октава) k =1 (одна ступень), для остальных октав k =1,…,1.
Для 88-клавишного фортепьяно теоретическая частота ступени определяется по формуле
V [n ] =V 0*2^((n -1)/12),
где n - номер клавиши фортепьяно, от самой левой n =1 до самой правой n =88.
В заключение приведем таблицу теоретических частот 88-клавишного фортепьяно.
Приведенные здесь данные позволяют программисту писать программы для исполнения простейших мелодий, а также программы-синтезаторы музыкальных звуков для компьютера и смартфона.