В настоящей статье речь пойдёт о логарифмических неравенствах с логарифмами, имеющими переменные основания.
Приятного Вам прочтения!
Методы решения логарифмических неравенств основаны на свойстве монотонности функции (см. картинку 1).
Логарифмическая функция в зависимости от её основания может быть как строго возрастающей, если основание больше 1, так и строго убывающей, если положительное основание меньше 1 (см. картинку 2).
Поэтому при решении неравенств, о которых идёт речь, требуется исследование 2-х случаев. Так учат сейчас в школах. Так учили меня (см. картинку 3).
Однако, набираясь опыта преподавания математики, я пришла к выводу, что такие неравенства решаются значительно проще, если заменить совокупность двух систем одной (см. картинку 4).
Эта система "хороша" тем, что:
1) не надо задумываться над тем, какой (возрастающей или убывающей) является функция из неравенства,
2) знак первого неравенства всегда совпадает со знаком заданного неравенства,
3) область допустимых значений неравенства сразу включается в систему и "не теряется",
4) она менее трудоёмкая для решения.
Не понимаю, с чем это может быть связано, но, к сожалению, не все учителя принимают такой "простой" метод решения. Однажды за него школьник даже получил "неудовлетворительно".
Я покажу, что решение одной "универсальной" системы неравенств совпадает с решением совокупности двух систем неравенств. И на примерах попробую сравнить различные способы решения логарифмических неравенств с переменными основаниями.
Как же решается первое неравенство из приведённых на картинке 4?
Вот так, например, как на картинке 5.
Если повезёт, и все выражения, зависящие от переменной х, окажутся многочленами, то первое неравенство можно будет решить методом интервалов, а не с помощью системы. Я показала возможное решение этого неравенства для того, чтобы Вы сравнили его со "старой" совокупностью на картинке 3. С учётом области допустимых значений неравенства, конечно. Не правда ли, одинаково?
Зачем же тогда усложнять путь решения, если есть иной, более универсальный?
Давайте перейдём к примерам, но прежде поймём, какое место занимает такая задача на ЕГЭ? Это задача под номером 15 профильного уровня экзамена по математике.
А как бы решалось неравенство с картинки 6 по-старому?
Думаю, что Вы сделаете правильные выводы. Ваши комментарии очень важны для меня и моих читателей. Буду благодарна за них, даже если Вы поспорите со мной. Именно обсуждая что-то, мы находим правильный путь к цели.