Сегодня вы узнаете одну довольно необычную формулу по геометрии. Она не сложная, но очень, на первый взгляд, странная.
Итак, рассмотрим задачу: есть прямоугольный треугольник с медианами AM2 = 8, CM3 = √26
Найти медиану BM1.
На первый взгляд, задачу решить невозможно. Ничего не известно про сам треугольник (ну кроме того, что он прямоугольный). Что же тогда делать? Тут нужно вспомнить формулу медианы в треугольнике:
m² = 1/4*(2a² + 2b² - c²),
Где m - медиана,
a,b - стороны, которые образуют угол, из которого выходит медиана,
c - сторона, которую медиана разбивает на 2 равные части.
Ну хорошо, мы знаем эту формулу, а как она нам поможет решить задачу, ведь про стороны и углы ничего не известно?
Мы прекрасно знаем теорему Пифагора, и в данной задаче она нам пригодится. Поскольку единственное, что мы можем сделать с этими медианами, это расписать их по указанной формуле, давайте это и сделаем с медианами, которые уходят в катеты, не забывая, что a,b - катеты,
c - гипотинуза.
(AM2)² = 1/4*(2a² + 2c² - b²)
(CM3)² = 1/4*(2b² + 2c² - a²)
Суммируя обе части получаем, что (AM2)² + (CM3)² = 5/4*с² (если вы не поняли, куда исчезли а и b, то вспомните теорему Пифагора)
А дальше нужно вспомнить прекрасное свойство медианы в прямоугольном треугольнике, которая выходит из прямого угла: она равна половине гипотинузы. Т е BM1 = c/2, значит, что гипотинуза с = 2*BM1, подставляя в полученное равенство получаем, что
(AM2)² + (CM3)² = 5*(BM1)²
А дальше - арифметика.
BM1 = √((64+26)/5) = √16 = 4.
Вот так вот, сложная задача решилась вычислениями за 7 класс. Поэтому думайте и умейте искать разные подходы к решению задач, в жизни это довольно полезный навык.