Начало: Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция.
Предыдущий урок: Математика для чайников. Глава 5. Основы элементарной алгебры
Этот метод используется при доказательстве какого-либо утверждения для всех натуральных чисел. Суть метода состоит в том, что сначала доказывается утверждение для значения 1, затем для n и уже потом для n +1 . Действительно, если утверждение верно для n +1, значит, мы можем взять что
Но так как доказано что для утверждение верно для любого неизвестного числа + 1, то будет верно и для
То есть для n +2. И так до бесконечности. Но так мы можем двигаться и в обратную сторону. Пусть
А мы доказали, что для любого числа утверждение верно. Значит и для n -1. И так мы можем вычитать из неизвестно единицы, пока не дойдем до 1, для которого у нас тоже доказано правильность утверждения. Собственно, мы и от 1 можем двигаться таким путем в бесконечность.
В качестве пример докажем формулу суммы чисел геометрической прогрессии:
Угловатый знак в этой формуле – это сумма. По сути, в более понятном виде формула выглядит так:
Докажем для n=1
Теперь докажем, что если эта формула верна при n, то она будет верна и при n +1
Сократив дробь, мы получим:
Но это мы получим, если вычтем
Что и требовалось доказать.
Решим еще задачу.
Доказать, что
Делится на 16 при любом n
Проверим при n =1:
При n +1 выражение примет вид:
Для того, чтобы доказать, что данное выражение тоже делится на 16, нам надо вычленить в нем многочлен
Для этого прибавим и отнимем
Получаем:
Преобразуем:
Упрощаем:
Данное выражение состоит из двух частей:
И
Первое делится на 16, так как многочлен
Делится на 16.
Второе выражение делится на 16 так как один из сомножителей равен 16.
Что и требовалось доказать.
Следующая публикация: Математика для чайников. Глава 7. Множества