В настоящей статье речь пойдёт о математической пропорции, о том, что если удаётся свести решаемую задачу к ней, то найти значение неизвестной величины не составит никакого труда. Надо лишь научиться "ходить" по пропорции. Я научу Вас этому, покажу, какие математические действия стоят за нашими "прогулками". Покажу на примерах, как это работает.
В основе понятия "математической пропорции" лежит другое важнейшее понятие математики - "отношение" двух чисел, отличных от нуля (см. картинку 1).
Что же из себя представляет пропорция в математике?
Пропорцией в математике называется равенство отношений двух (и более) пар чисел a, b и с, d, т.е. равенство вида a : b = c : d или
Ключевым в этом определении является "равенство отношений" или "равенство дробей".
Следует ли равенство отношений (дробей) воспринимать как уравнение, если в нём одна из величин неизвестна? Безусловно, да. Значит, к пропорции можно применить все те равносильные преобразования, которые мы применяем при решении уравнений: 1) умножение (деление) обеих частей уравнения на не равное нулю число; 2) прибавление (вычитание) к обеим частям уравнения одного и того же, отличного от нуля числа.
Для понимания механизма "движения" по пропорции нам потребуется первое из указанных выше преобразований.
Итак, чтобы научиться правильно "двигаться по пропорции", надо освоить всего 2 движения, которые называются "правилом крестика":
1) разрешено перемещать числа из числителя первой дроби в знаменатель второй дроби (и наоборот);
2) разрешено перемещать числа из знаменателя первой дроби в числитель второй дроби (и наоборот).
На моём рисунке (ниже) розовые фигурки могут двигаться только по синей лестнице, а зелёные фигурки только по салатовой. Сами лестницы символизируют "крестик", а фигурки - числа, расположенные в числителях и знаменателях дробей.
На картинке 2 (см. ниже) красными стрелками показаны "движения" по пропорции. Остановимся на них подробнее.
1. Число b переместилось к с и умножилось на с. Внизу осталась 1. Почему? Ответ прост: обе части уравнения мы умножили на b!
2. Обе части разделили на с (или, что то же самое, умножили на 1/с).
3. Обе части умножили на b и разделили на с.
4. Обе части разделили на a.
5. Обе части умножили на d.
Попробуйте сами понять, на что умножались или делились части уравнений с 6 по 10. Из 9 пропорции мы вывели правило a*d=b*с, которое называется основным свойством пропорции.
А теперь посмотрим, как понятие пропорции работает при решении задач.
Как легко превратить обыкновенную дробь -1/2 без деления в десятичную -0,5 можно посмотреть здесь.
Особенно трудно решаются задачи в 9 и 11 классах по теме "Расчёты по формулам". Эта тема вынесена на ОГЭ и ЕГЭ по математике. Теперь, когда Вы знаете правило крестика, решение задач по этой теме покажется Вам даже приятным и лёгким. Итак, задача (картинка 5).
Пропорция бывает весьма полезной не только в алгебре, но и в геометрии, особенно в задачах на подобие фигур. Но это - отдельная тема.
Надеюсь, статья была для Вас полезной. Хотелось бы почитать Ваши комментарии. В ближайшее время выйдет статья об уравнениях, которые не смог решить ни один преподаватель нашего города (из тех, конечно, кому они были предложены). Подписывайтесь на канал и следите за его новыми статьями.