Данная статья является продолжением части 1, посвященной разбору методов и алгоритмов упрощения дробно-иррациональных выражений, Напомним, что дробно-иррациональными выражениями являются дроби, содержащие радикалы ( корни).
Рассмотрим дробно-иррациональное выражение следующего вида:
Как и в предыдущем примере, необходимо правильно определить порядок действий.
Первое действие - преобразование и сложение выражений в первых скобках, затем преобразование дробно-иррациоанального выражения во вторых скобках, затем необходимо будет выполнить деление результата сложения выражений в первых скобках, на преобразованное выражение во вторых скобках.
Итак, приступим к преобразованиям выражений
И
Очевидно, что сначала необходимо изменить знак степени (-2) на положительный:
Выражения, которые мы получили в знаменателях дробей напоминают по своему виду квадрат суммы и квадрат разности соответственно. Но может возникнуть вопрос, что делать с корнем ( радикалом) 4-ой степени. В данном случае это не должно смущать, т. к. какой бы степени не был корень, соответствующие формулы, применимые к квадрату суммы и квадрату разности применимы и в данном случае. Но прежде чем применить формулы квадрата суммы и квадрата разности для преобразования выражений
и
необходимо найти общий знаменатель. Очевидно, что в данном случае общим знаменателем будет :
Домножив числители дробей на соответствующие сомножители получим следующее выражение:
Теперь мы можем разложить на множители, выражения, стоящие в числителе, полученной дроби согласно формулам квадрата суммы и квадрата разности. Знаменатель, пока оставим в исходном виде:
Очевидно, что знаменатель представляет собой разность квадратов, поэтому его можно привести к более компактному виду применив известную формулу "разности квадратов":
так как в данном случае <a> и <b> представлены соответственно
то их квадраты, будут представлять из себя корни 2-ой степени
и то же самое для
Тогда, приведя подобные члены в числителе дроби, получим:
(Примечание: цветом выделены соответствующие подобные члены).
Проведем преобразование дробно-иррационального выражения во второй скобке:
При упрощении ( преобразовании знаменателя мы использовали "разность квадратов", т.е. :
В применении к нашему выражению, стоящему в знаменателе
соответственно. Может возникнуть вопрос, почему нельзя было бы разложить еще и числитель как " квадрат суммы" :
В этом нет смысла, так как это не приведет к упрощению выражения, в данном случае. Именно разложение знаменателя как " разности квадратов" позволяет получить " удобные" легко сокращающиеся выражения, дающие достаточно простую по своему виду дробь-
Поэтому очень важно не просто " увидеть" соответствующие возможности упрощения тех или иных выражений, а правильно определить, где их необходимо применить, чтобы получить максимально простое по своему виду выражение.
2) Итак, выполним деление полученных преобразованных ( упрощенных) выражений:
( Примечание: в последнем преобразовании вынесен общий множитель <2> )
Таким образом мы получили итоговый результат упрощения равный
Подводя итог проанализируем , какие преобразования привели нас к полученному результату:
1) Изменение отрицательного знака на положительный степеней иррациональных выражений, посредством представления их в виде дробей, т.е.
соответственно.
2) Сложение полученных выше выражений посредством нахождения общего знаменателя равного
3) Преобразование выражений, полученных в числителе дроби
посредством применения формул квадрата суммы и квадрата разности соответственно;
4) Приведение подобных членов в числителе дроби
5) Преобразование ( упрощение) дробно - иррационального выражения во вторых скобках
посредством представления знаменателя дроби как разности квадратов
что позволяет привести знаменатель к удобной для сокращения форме;
6) Итоговое деление упрощенных выражений:
В заключение хотелось бы подчеркнуть, что решение того или иного примера не должно строиться на желании как можно скорее "победить задачу", а прежде всего разобраться в сути задания, понять его смысл. Как правильно сказал один из математиков: "... проблема не в том, чтобы решить, а в том, чтобы понять и насладиться этой красотой!" Важно помнить, что за "математическими абстракциями" стоят реальные методы описания сложных физических процессов окружающего нас мира. Так полученный нами результат упрощения:
Мог быть реальной функцией сложной трехмерной поверхности, которая могла бы отображать изменение энергии в процессе химической реакции:
( a =х и b= у соответственно).