За последний месяц уже раз пятьдесят рассказывала своим ученикам про алгебраическую сумму. Хотелось бы увидеть с их стороны больше энтузиазма по этому поводу. Но это уже моя проблема. Итак, почему алгебраическая сумма одно из ключевых понятий, которые изучают в школе?
Для начала вспомним, сколько арифметических операций существует?
Да, вы абсолютно правы, их четыре: сложение, вычитание, умножение и деление. Из них две операции: сложение и умножение, привлекательней оставшихся. (Извиняюсь, перед поклонниками вычитания и деления.) Они обладают замечательными свойствами: коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным. Они позволяют "играть" с примерами: находить более простой порядок вычислений или упрощать выражения. Если они на столько хороши, разумно будет задаться вопросом, можно ли избавиться от неудобных операций вычитания и деления?
Думаю, вы понимаете, что если бы это было возможно, то давно бы было сделано. Но есть хитрость, которая может операцию вычитание превратить в сложение. И имя ей - алгебраическая сумма:
Когда мы переходим в множество рациональных чисел, то появляется возможность знак минус трактовать не как знак действия, а как знак числа или выражения. Соответственно, у нас появляются отрицательные слагаемые и вместо операций сложение и вычитание мы получаем одну: сложение чисел с разными знаками. Конечно, при ее выполнении применяется разность, как действие между модулями чисел. Но это о том, как выполнять действие, сама же операция является сложением. А значит обладает всеми вышеперечисленными свойствами. Благодаря этому мы получаем возможность приводить подобные слагаемые, вычислять более простым способом и упрощать выражения.
Например:
Кстати, деление также можно заменить умножением. И все, кто помнит как делятся обыкновенные дроби, имеют представление каким образом это происходит. Помните?