Теорема Пифагора (и обратная к ней) завершает книгу первую «Начал» Евклида. Предложение XLVII (47) гласит: в прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен <вместе взятым> квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.
Привычный термин «гипотенуза» пришёл (через латинский) из греческого: «стягивающей прямой угол» является дословным переводом текста «Начал» — ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα.
Изящное и элементарное доказательство теоремы Пифагора типа «Смотри!», по сути аналогичное приведённому в «Началах», можно представить в картинках.
Разделим квадрат, построенный на гипотенузе, на две части продолжением высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла. Оказывается, меньший из образовавшихся прямоугольников по площади равен квадрату, построенному на меньшем катете, а больший – квадрату, построенному на большем катете.
В приводимых ниже вариациях доказательства Евклида площади фигур не меняются при перекашивании: их основания и высоты всегда остаются постоянными.
При повороте параллелограммов относительно вершин острых углов их стороны лягут на высоту, потому что их вершинки окажутся в вершине прямого угла. Действительно, сторона маленького квадрата поворачивается на 90 градусов и переходит в сторону треугольника; а длинные стороны параллелограммов параллельны сторонам квадрата на гипотенузе. Отличие от доказательства, приведённого в «Началах» и получившего название «windmill proof» (доказательство ветряной мельницы) в том, что Евклид не использовал анимацию и рассматривал не сами параллелограммы, а треугольники, являющиеся их половинами.
Ещё одно схожее доказательство, приведённое в журнале «Квантик», состоит в том, чтобы продлить стороны маленьких квадратов до пересечения.
При таком доказательстве надо задуматься и обосновать, почему точка пересечения оказывается лежащей на продолжении высоты.
Посмотреть видео в современном формате SVG-анимации и скачать его себе можно на страничке Теорема Пифагора: доказательство Евклида.
Наверное, во всех странах школьники учат теорему Пифагора, и во многих музеях науки можно встретить иллюстрирующий её экспонат, чаще не с песком, а с водой.
Теорема Пифагора имеет много известных доказательств типа «Смотри». Некоторые из них можно представить и в совсем непривычном виде.
В одном наборе серьги должны быть разные: именно вместе они доставляют доказательство теоремы Пифагора. Девушка с такими серьгами однозначно привлечёт внимание, а уж если она ещё и объяснит молодому человеку само доказательство теоремы…
Это же доказательство можно реализовать и как настольную модель для класса.
Подобные доказательства известны с древности. В древнекитайском «Трактате об измерительном шесте» указывается, что теорема Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5 была известна Шан Гао за 1100 лет до н. э., а в общем случае — Чэнь-цзы, жившему в VI веке до н. э. в комментариях к этой книге указано, что доказательство этой теоремы было основано на чертеже приводимом ниже (первый чертёж). А в индийской книге «Венец знаний» (Бхаскара, XII век) в качестве доказательства теоремы Пифагора приведён второй чертёж, дополненный надписью «Смотри».
Желающие воочию убедиться, что теорема Пифагора верна и соответствующие площади квадратов равны могут поперекладывать фигурки в интерактивной головломке.