В соответствии с нормами Гражданского законодательства (ст. 421 ГК РФ) при заключении договора купли продажи, должно содержаться условие об оплате по имеющийся задолженности, т.е. Вы принимаете на себя данные обязательства в добровольном порядке.
В соответствии с п. 5 п. 2 ст. 153 ЖК РФ обязанность по внесению платы возникает с момента возникновения права собственности (с момента гос. регистрации права, если иное не предусмотрено законом).
Таким образом, если в договоре купли-продажи предусмотрена оплата задолженности новым собственником, то оплата производится новым собственником.
В случае, если не предусмотрено такое условие, то обязанность по оплате возникает после регистрации права. Т.е. до этого момента обязанность оплачивать ЖКУ несет предыдущий собственник квартиры.